Otras carreras Fuerza de Lorentz de un protón en un campo magnético

[JuanTara9705]

Un protón se dispara a una zona de campo magnético constante tal como se muestra en la figura. Si el protón de carga $+e$ y masa $m$ incide con un ángulo $\alpha$ a la zona de campo, determine el valor de la distancia $d$ que recorre y el ángulo $\beta$ con el cual sale de la zona de campo.

Buen día por favor les pido una ayuda o explicación con el siguiente ejercicio a la comunidad, no he podido avanzar en el ejercicio, solo tengo claro, que la trayectoria a la cual debería llegar el protón sobre el campo es una circunferencia, pero tengo dificultad con plantear la ecuación de la trayectoria y resolver.

[JCB]

Hola a tod@s.

Al ser constante la fuerza del campo magnético sobre el protón, este describe una trayectoria circular de radio constante. Por simetría, el ángulo de salida es igual al ángulo de entrada, y la distancia que separa la entrada de la salida es la cuerda de la circunferencia que describe.

$\sum{F}=ma$

$qvB=m\dfrac{v^2}{R}$

$R=\dfrac{mv}{qB}$

Llamando $\theta$ al ángulo complementario de $\alpha$, en la circunferencia se cumple que la cuerda es

$c=2R\sin\theta=2R\sin(90^{\circ}-\alpha)=2R\cos\alpha=\dfrac{2mv}{qB}\cos\alpha$

A ver si con un poco de tiempo añado un croquis.


Saludos cordiales,
JCB.

[delmar7]

Hola

Considera una referencia inercial con origen en el punto de entrada del próton, considera al eje horizontal como eje X, positivo hacia la derecha, considera eje Y al eje vertical positivo hacia arriba, en esas condiciones el eje Z sera perpendicular a la pantalla positivo saliente. Aplica la segunda ley de Newton $F=ma$ Ec 1 donde :

F es la fuerza magnética, no hay fuerza eléctrica y se puede despreciar la fuerza gravitatoria, en consecuencia $\vec{F}=e(\vec{V} x B_0 \vec{k})=$ donde e es la carga del protón (positiva)
La posición genérica del protón es :

$\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+ z \vec{k}$ esto implica que la velocidad es $\vec{V}=x' \vec{i}+y' \vec{j}+ z' \vec{k}$ y la aceleración

es $\vec{a}=x'' \vec{i}+y'' \vec{j}+ z'' \vec{k}$ en consecuencia la fuerza magnéticas es $\vec{F}=e(x' \vec{i}+y' \vec{j}+ z' \vec{k}) \ x \ B_0 \vec{k}=e(y'B_0 \vec{i}-x' B_0 \vec{j} )$ ahora sustituir en la Ec. 1 y aparecen las ecuaciones en las direcciones i,j,k siguientes :

$eB_0y'=mx''$ Ec i


$-eB_0x'=my''$ Ec j

$0=mz''$ Ec.k

De la Ec k, se deduce que el movimiento será en el plano XY en las otras ecuaciones se procede a integrar entre 0 y t genérico, considerando que en t=0 la velocidad es $\vec{V}(0)=v_0 cos \alpha \vec{i}+v_0 sen \beta \vec{j}$ y se llega :

$x'=v_0 cos \alpha+(e/m)B_0 y$ Ec. A

$y'=v_0 sen \alpha-(e/m)B_0 x$ Ec. B

En este punto una observación básica, la fuerza magnética es normal a la velocidad, por ser esta la única fuerza, el trabajo de las fuerzas es cero en consecuencia la energía cinética se conserva esto implica que el módulo de la velocidad es constante e igual a $v_0$ elevando al cuadrado ambas ecuaciones y sumando se tiene :

$v_0^2=(v_0 cos \alpha+(e/m)B_0 y)^2+(v_0 sen \alpha-(e/m)B_0 x)^2$ esa es la ecuación de una circunferencia, en su forma canónica puedes hallar su centro y su radio, para hallar d averigua el valor de x para y=0 la dirección de la velocidad en el punto de salida ha de ser perpendicular al radio vector

Saludos