1r ciclo potencial en un punto

[Emilio Ortega]

Hola es primera vez que hago una consulta en este foro ya que estaba realizando un problema y me tope con una dificultad, el problema es el siguiente

un conductor esferico hueco con carga neta Q tiene un radio interior r1 y un radio exterior r2 = 2r1 En el centro de la esfera se encuentra una carga puntual de Q/2
a) determine el potencial como funcion de r, la distancia desde el centro para 0<r<r1

y mi problema es como se calcularía el potencial en el punto r1, ya que lo calculé por que se necesita para realizar la pregunta a) del ejercicio, pero no me da el mismo resultado y yo sé que el problema de mi ejercicio está en el resultado del potencial en r1, es por eso que quisiera saber cuanto les da a ustedes y saber como se desarrollaría para ver si me da lo mismo que en el solucionario, gracias

[Al2000]

Re: potencial en un punto

Mira, el ejercicio empieza por determinar cómo es la distribución de carga, lo cual puedes hacer apoyándote en la ley de Gauss y en el hecho de que el cascarón es conductor. Concluirás al final que la carga en la superficie interna del cascarón vale $-Q/2$, la carga en la superficie externa vale $3 Q/2$ y que la carga se distribuye uniformemente en ambas superficies por la simetría esférica de la situación. Una vez conocido que el campo en la región $0 < r \leqslant r_1$ es radial uniforme, puedes aplicar la ley de Gauss para determinar el campo en la región y con el campo determinar el potencial.

En resumidas cuentas, obtendrás que el potencial en la región $0 < r \leqslant r_1$ es idéntico al de una carga puntual (salvo por una constante): $\dst V = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \left(\frac {Q/2} r - \frac {Q/2} {r_1} + \frac {3Q/2}{r_2}\right)$, si se establece que $V_\infty = 0$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Emilio Ortega]

Potencial a una distancia

Hola, necesito calcular el potencial en el punto r1 de la imagen yo lo hice pero no me da lo mismo, gracias de ante mano
yo pienso que el potencial en Vr1 es = $\frac{\frac{Q}{2 }}{4\pi*\varepsilon*r1}$, pero se supone que este no esta correcto :/

[Al2000]

Re: potencial en un punto

Bueno, trataré de explicarte por qué la expresión que pones no es el resultado correcto. Ese potencial que escribiste sería correcto si la única carga existente fuese la carga puntual. Pero además de esa carga existen dos superficies cargadas que también se sienten en su derecho de producir su potencial y efectivamente lo hacen.

Una forma de obtener el resultado correcto es usar el principio de superposición y establecer que:

$$V_{(r_1)} = V_{(r_1) \ \text {carga puntual}} + V_{(r_1) \ \text {superficie interna}} + V_{(r_1) \ \text {superficie externa}}$$

- La carga puntual, de valor $Q/2$, produce en $r_1$ el potencial $\dst V_{(r_1) \ \text {carga puntual}} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q/2}{r_1}$

- La superficie interna, cargada con carga $-Q/2$, produce en $r_1$ el potencial $\dst V_{(r_1) \ \text {superficie interna}} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {-Q/2}{r_1}$

- La superficie externa, cargada con carga $3Q/2$, produce en $r_1$ el potencial $\dst V_{(r_1) \ \text {superficie externa}} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3Q/2}{r_2}$

Luego, en $r_1$ el potencial será (nota que los dos primeros términos se cancelan): $\dst V_{(r_1)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3Q/2}{r_2}$. Este valor es el que obtienes en la expresión que escribí en mi primer mensaje cuando haces $r = r_1$.

Otra forma de analizar el problema y ver de dónde viene la diferencia con el resultado que tu crees correcto, es a través del campo eléctrico. Recuerda que el potencial en un punto es el trabajo por unidad de carga que realiza un agente externo para traer una carga de prueba desde un punto usado como referencia (muchas veces considerado un punto infinitamente alejado) hasta el punto en cuestión. Debería ser claro que el potencial que pones, que corresponde a la carga puntual sola no puede ser el potencial correcto, pues ignora el efecto del campo creado por las otras dos superficies cargadas.

Bueno, lo dejo hasta allí pues no se si estoy llegando a donde debería. Su tienes alguna otra duda, o no te quedó claro algo de lo escrito aquí, pues simplemente pregunta de nuevo, que bien sea yo mismo o algún otro forero con gusto te responderá.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Emilio Ortega]

Re: potencial en un punto

Bueno, trataré de explicarte por qué la expresión que pones no es el resultado correcto. Ese potencial que escribiste sería correcto si la única carga existente fuese la carga puntual. Pero además de esa carga existen dos superficies cargadas que también se sienten en su derecho de producir su potencial y efectivamente lo hacen.

Una forma de obtener el resultado correcto es usar el principio de superposición y establecer que:

$$V_{(r_1)} = V_{(r_1) \ \text {carga puntual}} + V_{(r_1) \ \text {superficie interna}} + V_{(r_1) \ \text {superficie externa}}$$

- La carga puntual, de valor $Q/2$, produce en $r_1$ el potencial $\dst V_{(r_1) \ \text {carga puntual}} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q/2}{r_1}$

- La superficie interna, cargada con carga $-Q/2$, produce en $r_1$ el potencial $\dst V_{(r_1) \ \text {superficie interna}} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {-Q/2}{r_1}$

- La superficie externa, cargada con carga $3Q/2$, produce en $r_1$ el potencial $\dst V_{(r_1) \ \text {superficie externa}} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3Q/2}{r_2}$

Luego, en $r_1$ el potencial será (nota que los dos primeros términos se cancelan): $\dst V_{(r_1)} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {3Q/2}{r_2}$. Este valor es el que obtienes en la expresión que escribí en mi primer mensaje cuando haces $r = r_1$.

Otra forma de analizar el problema y ver de dónde viene la diferencia con el resultado que tu crees correcto, es a través del campo eléctrico. Recuerda que el potencial en un punto es el trabajo por unidad de carga que realiza un agente externo para traer una carga de prueba desde un punto usado como referencia (muchas veces considerado un punto infinitamente alejado) hasta el punto en cuestión. Debería ser claro que el potencial que pones, que corresponde a la carga puntual sola no puede ser el potencial correcto, pues ignora el efecto del campo creado por las otras dos superficies cargadas.

Bueno, lo dejo hasta allí pues no se si estoy llegando a donde debería. Su tienes alguna otra duda, o no te quedó claro algo de lo escrito aquí, pues simplemente pregunta de nuevo, que bien sea yo mismo o algún otro forero con gusto te responderá.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Gracias amigo, me sirvió mucho tu explicación, te di en el botón gracias