Secundaria velocidad de cargas puntuales

[Emilio Ortega]

Ayuda con este problema por favor no se me ocurre como resolverlo y llevo mucho rato intentando, se supone que el resultado es V = 2x 10^3 m/s
gracias de ante mano

el problema es el siguiente :

Dos cargas puntuales idénticas de +5.5 uC están inicialmente separadas 6.5 cm una de la otra. Sis e liberan al mismo tiempo ¿Que tan rápido se estarán desplazando cuando se encuentren muy lejos una de la otra? suponga que tienen masas iguales de 1.9 mg

[angel relativamente]

Re: velocidad de cargas puntuales

Hola. Lo que tienes que conseguir es plantear una ecuación diferencial. Coge una variable $x$ que mida la distancia a, por ejemplo, el punto medio entre el segmento que las separaba inicialmente. Por tanto puedes calcular la fuerza coulombiana entre las partículas en función de $x$, y por la segunda ley de Newton lo igualas a $ma=m\dfrac{\dd v}{\dd t}$. Lo primero que tienes que hallar es $v(x)$ (la velocidad en función de la posición) y eso lo puedes hacer con la relación $\dfrac{\dd v}{\dd t} = \dfrac{\dd v}{\dd x}\dfrac{\dd x}{\dd t}=v\dfrac{\dd v}{\dd x}$ y resolviendo la ecuación diferencial que te queda con los diferenciales $\dd v$ y $\dd x$ para encontrar la relación funcional $v(x)$ buscada. Finalmente haz $\dst \lim_{x\to \infty} v(x)$

Saludos,

[Emilio Ortega]

Re: velocidad de cargas puntuales

Hola. Lo que tienes que conseguir es plantear una ecuación diferencial. Coge una variable $x$ que mida la distancia a, por ejemplo, el punto medio entre el segmento que las separaba inicialmente. Por tanto puedes calcular la fuerza coulombiana entre las partículas en función de $x$, y por la segunda ley de Newton lo igualas a $ma=m\dfrac{\dd v}{\dd t}$. Lo primero que tienes que hallar es $v(x)$ (la velocidad en función de la posición) y eso lo puedes hacer con la relación $\dfrac{\dd v}{\dd t} = \dfrac{\dd v}{\dd x}\dfrac{\dd x}{\dd t}=v\dfrac{\dd v}{\dd x}$ y resolviendo la ecuación diferencial que te queda con los diferenciales $\dd v$ y $\dd x$ para encontrar la relación funcional $v(x)$ buscada. Finalmente haz $\dst \lim_{x\to \infty} v(x)$

Saludos,

Muchas gracias por responder pero en realidad todavía no se usar ecuaciones diferenciales y se supone que el ejercicio no las utiliza :l

[angel relativamente]

Re: velocidad de cargas puntuales

Hola, no tengo mucho tiempo ahora pero quizá otra solución sencilla sea por energías. Inicialmente una de las partículas tiene cierta energía potencial, y cuando esté "suficientemente" alejada puedes considerer que toda esa energía es cinética y sacar la velocidad. Ciertamente parece una manera mucha más sencilla de resolver este problema que la que te planteaba, el problema es que solo te sirve para calcular la velocidad "en el infinito" que es lo que te piden, y no en cualquier punto del espacio.
Saludos,

[Alriga]

Re: velocidad de cargas puntuales

Podemos también intentar resolverlo mediante la conservación de la energía. La energía potencial inicial de las dos cargas:

$\dst E_p=K \frac{q_1 \ q_2}{r}=9 \cdot 10^9 \ \frac{5.5 \cdot 10^{-6} \cdot 5.5 \cdot 10^{-6}}{0.065}=4.188 \ J$

Cuando estén muy lejos, (r muy grande) en el límite la energía potencial será nula y solo tendrán energía cinética. Podemos imaginar una de las dos cargas fija con energía cinética nula y la otra con toda la energía cinética. En ese caso, la velocidad a la que una carga se aleja de la otra será:

La velocidad que cada una de las cargas tendrá respecto del origen:

$\cancel{\dst 4.188=\frac{1}{2} \ m \cdot v^2}$

$\dst 4.188=2 \cdot \frac{1}{2} \ m \cdot v^2$

$\cancel{\dst v=\sqrt{\frac{2 \cdot 4.188}{1.9 \cdot 10^{-6}}}=2100 \ m/s}$

$\dst v=\sqrt{\frac{4.188}{1.9 \cdot 10^{-6}}}=1485 \ m/s$

Saludos.

PD. EDITADO: Mientras redactaba mi respuesta veo que Ángel también ha contestado en el mismo sentido. Saludos Ángel

[Emilio Ortega]

Re: velocidad de cargas puntuales

Podemos también intentar resolverlo mediante la conservación de la energía. La energía potencial inicial de las dos cargas:

$\dst E_p=K \frac{q_1 \ q_2}{r}=9 \cdot 10^9 \ \frac{5.5 \cdot 10^{-6} \cdot 5.5 \cdot 10^{-6}}{0.065}=4.188 \ J$

Cuando estén muy lejos, (r muy grande) en el límite la energía potencial será nula y solo tendrán energía cinética.
Podemos imaginar una de las dos cargas fija con energía cinética nula y la otra con toda la energía cinética. En ese caso, la velocidad a la que una carga se aleja de la otra será:

$\dst 4.188=\frac{1}{2} \ m \cdot v^2$

$\dst v=\sqrt{\frac{2 \cdot 4.188}{1.9 \cdot 10^{-6}}}=2100 \ m/s$

Saludos.

PD. EDITADO: Mientras redactaba mi respuesta veo que Ángel también ha contestado en el mismo sentido. Saludos Ángel

Muchas gracias por responder amigo, pero sabes que el resultado dice que es 2000 m/s, y encontre en una parte la solucion pero igual no la entendí muy bien , ojalá puedas ayudarme lo hicieron de esta forma

E = campo electrico
U = energia potencial electrica
K = energia cinetica

E inicial = E final -> U inicial = K final -> $\frac{KQ^2}{r } = 2*(\frac{1}{ 2}*m*v^2)$ , despejaron V y eso es igual a 2 x 10^3 m/s

no entiendo para que es el campo tampoco, ojala me puedas explicar , gracias de ante mano

[Alriga]

Re: velocidad de cargas puntuales

E = ENERGIA DEL campo electrico
U = energia potencial electrica
K = energia cinetica

E inicial = E final -> U inicial = K final -> $\frac{KQ^2}{r } = 2*(\frac{1}{ 2}*m*v^2)$ , despejaron V y eso es igual a 2 x 10^3 m/s

Dicen lo mismo que he hecho yo, solo que creo que he cometido un error en mi post anterior al referir toda la energía cinética a una sola partícula, lo corrijo:

$\dst U_{inicial}=\dst E_{potencial \ inicial}=\dst K \frac{q_1 \ q_2}{r}=9 \cdot 10^9 \ \frac{5.5 \cdot 10^{-6} \cdot 5.5 \cdot 10^{-6}}{0.065}=4.188 \ J$

$E_{cinetica \ final}=\dfrac 1 2 m_1 v_1^2+\dfrac 1 2 m_2 v_2^2$

Como según el enunciado $m_1=m_2=m$ , por simetría deberá cumplirse que $v_1=v_2=v$ . En donde $v$ es la velocidad a la que cada una de las partículas se aleja del centro de ambas. Por lo tanto

$E_{cinetica \ final}=2 \ (\dfrac 1 2 \ m \ v^2)=m \ v^2$

Y por lo tanto

$\dst v=\sqrt{\frac{4.188}{1.9 \cdot 10^{-6}}}=1485 \ m/s$

$1485 \ m/s$ es la velocidad a la que cada partícula se aleja del origen.

Luego la velocidad a la que una se aleja de la otra es: $2 \cdot 1485=2969 \ m/s$

Luego creo que el solucionario que dice $2 \times 10^3 \ m/s$ está mal, (ha "despejado" o calculado mal, repite tú las operaciones y lo comprobarás)

Saludos.

[Emilio Ortega]

Re: velocidad de cargas puntuales

Dicen lo mismo que he hecho yo, solo que creo que he cometido un error en mi post anterior al referir toda la energía cinética a una sola partícula, lo corrijo:

$\dst U_{inicial}=\dst E_{potencial \ inicial}=\dst K \frac{q_1 \ q_2}{r}=9 \cdot 10^9 \ \frac{5.5 \cdot 10^{-6} \cdot 5.5 \cdot 10^{-6}}{0.065}=4.188 \ J$

$E_{cinetica \ final}=\dfrac 1 2 m_1 v_1^2+\dfrac 1 2 m_2 v_2^2$

Como según el enunciado $m_1=m_2=m$ , por simetría deberá cumplirse que $v_1=v_2=v$ . En donde $v$ es la velocidad a la que cada una de las partículas se aleja del centro de ambas. Por lo tanto

$E_{cinetica \ final}=2 \ (\dfrac 1 2 \ m \ v^2)=m \ v^2$

Y por lo tanto

$\dst v=\sqrt{\frac{4.188}{1.9 \cdot 10^{-6}}}=1485 \ m/s$

$1485 \ m/s$ es la velocidad a la que cada partícula se aleja del origen.

Luego la velocidad a la que una se aleja de la otra es: $2 \cdot 1485=2969 \ m/s$

Luego creo que el solucionario que dice $2 \times 10^3 \ m/s$ está mal, (ha "despejado" o calculado mal, repite tú las operaciones y lo comprobarás)

Saludos.

De hecho calculé como en el solucionarlo y si da 2000 aprox :/ quizás que será lo que está mal, además busque en google y también sale que la respuesta es 2000 pero está sin el desarrollo solo con una explicación

By energy conservation, all of the initial potential energy of the charges will change to kinetic energywhen the charges are very far away from each other. By momentum conservation, since the initial
momentum is zero and the charges have identical masses, the charges will have equal speeds in
opposite directions from each other as they move. Thus each charge will have the same kinetic
energy. R=2x10^3 m/s

[Alriga]

Re: velocidad de cargas puntuales

... De hecho calculé como en el solucionarlo y si da 2000 aprox ...

Si lo has calculado según este "solucionario"

E = campo electrico
U = energia potencial electrica
K = energia cinetica

E inicial = E final -> U inicial = K final -> $\dfrac{kQ^2}{r} = 2 \ (\dfrac{1}{2} \ m \ v^2)$

Y de esa ecuación has:

... despejaron V y eso es igual a 2 x 10^3 m/s ...

Ponle pilas nuevas a la calculadora porque ese cálculo da 1485 m/s, y no 2000 m/s

Tú mismo...