Secundaria potencial de distribucion de carga (anillo)

[Emilio Ortega]

Hola el siguiente problema dice:

calcular el potencial en un punto a una distancia x a través del eje del anillo, siendo que el anillo desde su mitad superior tiene una carga Q/2 y en la mitad inferior una carga -Q/2 (la carga se distribuye uniformemente) y el anillo tiene un radio R.

yo sé que tendrá que ser 0 por que el potencial en ese punto va a ser la suma del potencial superior que es positivo con la del inferior que es negativo, pero quiero hacerlo matemáticamente, pero tengo una duda porque en un ejercicio similar donde pedían calcular el potencial en un anillo en donde se tiene una carga completa de Q y distribuida uniformemente tambien, se usaba así simplemente V = $k\frac{\int dq}{r}$ y el r es es el valor sacado de pitagoras y el dq es la carga completa que sería Q y no se ponían limites de integración porque me imagino que es donde se quería sacar toda la carga del anillo, pero en el ejercicio que puse arriba es diferente, y mi pregunta es como deberia ser entonces ? usar limites de integracion ?

gracias de ante mano

[Al2000]

Re: potencial de distribucion de carga (anillo)

Como la distancia desde cada elemento de carga hasta el punto donde calculas el potencial es constante, entonces la integral se convierte simplemente en una suma para hallar la carga total de la distribución. Independientemente de cómo se distribuya la carga a lo largo del anillo, la integral siempre resultará en el valor de la carga total. El caso que tu te imaginas y cualquier otro caso que de una carga total cero, resultará definitivamente en un potencial cero, en el eje del anillo.

Si tu interés es ver cómo se obtiene el resultado matemáticamente, podrías escribir la densidad lineal de carga como función de un ángulo medido desde alguna línea radial de referencia. Podrías por ejemplo decir que la densidad de carga vale $+ \lambda$ desde 0 hasta $\pi$ y $- \lambda$ desde $\pi$ hasta $2 \pi$, y hallar la carga como

$$Q = \int_{0}^{2 \pi }\!\! \lambda_{(\theta )}\, d \ell = \int_{0}^{\pi }\!\! (+ \lambda )\, R d \theta + \int_{\pi }^{2 \pi }\!\! (- \lambda )\, R d \theta = 0$$

o, en un ejemplo menos trivial, supón que la densidad de carga varía como $\lambda_{(\theta )} = \lambda_0 \, \mathrm {sen} \, \theta$, entonces tendrías que

$$Q = \int_{0}^{2 \pi }\!\! \lambda_{(\theta )}\, d \ell = \int_{0}^{2 \pi }\!\! (\lambda_0 \, \mathrm {sen} \, \theta ) \, R d \theta = 0$$

Estos casos son triviales y usar una integral para resolverlos es como cazar pajaritos con un cañón, pero no está demás saber cómo hacerlo pues en algún otro caso podría no ser tan inmediata la respuesta. Podrías probar por ejemplo con la distribución $\lambda_{(\theta )} = \lambda_0 \, \mathrm {sen}^2 \, \theta$, por poner uno sólo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Emilio Ortega]

Potencial electrico de un anillo

Hola , primero queria decir que me ha gustado mucho el foro ya que he aprendido bastante por los usuarios que responden
y queria hacer otra pregunta, yo subi hace unos dias un ejercicio que decia


calcular el potencial en un punto a una distancia x a través del eje del anillo, siendo que el anillo desde su mitad superior tiene una carga Q/2 y en la mitad inferior una carga -Q/2 (la carga se distribuye uniformemente) y el anillo tiene un radio R.

Pero ahora me piden calcular el potencial del anillo en un punto pero este ya NO está en el eje del anillo , puede ser en cualquier punto, entonces ahi ya no logré resolverlo, ojalá alguien sepa , gracias de ante mano

[Emilio Ortega]

Re: potencial de distribucion de carga (anillo)

Oye Al, pero por ejemplo si quisiera una expresión en términos de potencial, (por que supongamos que la mitad superior es Q/2 y la mitad inferior es -Q/3) (le cambié los valores a las cargas solo para que no sea 0 y poder entender mejor el procedimiento), entonces ahí ya no será 0 y quiero calcular el potencial con un desarrollo, tendría que hacerlo por partes ?

ejemplo

V (total en p) = V (mitad sup) + V (mitad inf)
V (total en p) = $k\frac{\int dq1}{ r}$ + $k\frac{\int- dq2}{ r}$
V (total en p) = $k\frac{\int dq1}{\sqrt{x^2 + R^2}}$ + $k\frac{\int- dq2}{\sqrt{x^2 + R^2}}$
V (total en p) = $\frac{k}{\sqrt{x^2 + R^2}}\int dq1$ + $\frac{k}{\sqrt{x^2 + R^2}}\int -dq2$
V (total en p) = $\frac{k}{\sqrt{x^2 + R^2}}*\frac{Q}{2 }$ + $\frac{k}{\sqrt{x^2 + R^2}}*\frac{-Q}{3}$
V (total en p) = $\frac{k*Q}{\sqrt{x^2 + R^2}} *(\frac{1}{ 2}-\frac{1}{3 })$
V (total en p) = $\frac{k*Q}{\sqrt{x^2 + R^2}} *\frac{1}{6 }$

y ese sería mi potencial en el punto para un anillo que tiene la mitad superior de carga Q/2 y la mitad inferior de -Q/3 ?

[Emilio Ortega]

Re: potencial de distribucion de carga (anillo)

Si alguien puede responder lo agradeceria mucjo para despejar dudas , graciass