Protón que entra en un campo magnético

[luisdlr]

Buenos días,

Vuelvo a la carga con una nueva duda, en este caso de Electromagnetismo, que sin duda es mi gran talón de Aquiles en cuanto se refiere a la Física...

Me piden lo siguiente:

Un protón se mueve a una velocidad v = 100i + 200j m/s, y entra en un campo magnético de B = 0,1i T.
a) ¿Cuál es el radio de la órbita helicoidal que describe y la distancia que avanza en el eje X en una vuelta?
b) ¿Qué diferencia de potencial debe experimentar el protón para pasar del reposo a esa velocidad antes de entrar al campo magnético?

Normalmente en los ejercicios que hago, existe una relación "sencilla" entre v y B (por ejemplo, son paralelos, o perpendiculares), y en ese caso sí lo sé resolver, pero en este caso ya no es así.

Si alguien pudiera ayudarme a plantear ambos apartados, le estaría muy agradecido.

Muchísimas gracias de antemano.

Un saludo

[Alofre]

Hola!

Te diré como empezaría yo el primer apartado (aviso: mi electromagnetismo está bastante oxidado). Vectorialmente tienes una fuerza $\mathbf{F} = q \mathbf{v} \times \mathbf{B} = -20 q \mathbf{\hat{z}}$. Como sabes la velocidad inicial de la partícula, puedes intentar resolver las ecuaciones del movimiento
$m \mathbf{\ddot{x}} =-20 q \mathbf{\hat{z}}$, que separadamente son $\left\{ \begin{array}{l} \ddot{x} = 0 \\ \ddot{y} = 0 \\ \ddot{z} = -20q/m \end{array} \right.$.

Espero que te sea útil .

[JCB]

Hola a tod@s.

a) A partir de un sistema de referencia dextrógiro ($X$ horizontal, $Y$ vertical, y $Z$ perpendicular al plano de la pantalla y con sentido positivo hacia fuera),

$\vec{F}=q(\vec{v}\times\vec{B})=-qvB\sin\theta\hat k$

$\vec{a}=\dfrac{-qvB\sin\theta }{m}\hat k$. Se trata de una aceleración centrípeta.

$a=\dfrac{qvB\sin\theta}{m}=\dfrac{v^2\sin^2\theta}{R}$

$R=\dfrac{mv\sin\theta}{qB}$

Como la componente horizontal de la velocidad permanece constante, el paso de la hélice es

$p=v\cos\theta\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi R}{\tan\theta}$

b) Para este apartado, aplicaría

$qV=\dfrac{1}{2}mv^2$

$V=\dfrac{mv^2}{2q}$

Saludos cordiales,
JCB.

[delmar7]

Hola

La idea es aplicar la segunda ley de Newton, considerando que el protón esencialmente sufre una fuerza de origen mágnetico (despreciando fuerza gravitatoria y electrostática) :

$\vec{F}=q\vec{v} \ x \ \vec{B}=m \vec{a} \ \forall \ t \geq 0$ Ec. 1 considerando que en t=0, el protón esta en el origen de coordenadas

El vector de posición genérico del protón es :

$\vec{r}(t)=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ esto implica que la velocidad es

$\vec{v}(t)=x'\vec{i}+y'\vec{j}+z'\vec{k}$ y que la aceleración es

$\vec{a}(t)=x''\vec{i}+y''\vec{j}+z''\vec{k}$

La Ec. 1 se transforma en :

$-qy'0.1 \vec{k}+qz' 0.1\vec{j}=m(x''\vec{i}+y''\vec{j}+z''\vec{k}) \ \ \forall \ t \geq 0$

En consecuencia se tienen las ecuaciones en las tres direcciones canónicas :

$0=mx'' \Rightarrow x'=100 \ \forall \ t \geq 0$

$qz'0.1=my'' \Rightarrow q0.1z=m(y'-200) \ \forall \ t \geq 0$

$-qy'0.1=mz'' \Rightarrow -q0.1y=mz' \ \forall \ t \geq 0$

Denominando $\alpha=q0.1/m$ ordenando las ecuaciones diferenciales y resolviendo se tiene :

$x=100t$ Ec A

$y'=\alpha z+200$

$z'=-\alpha y$

Derivando la penúltima ecuaciones diferenciales se tiene :

$y''=\alpha (-\alpha y) \Rightarrow y''+ \alpha^2y=0$

Esta ecuación es lineal de segundo orden homogénea y se puede resolver :

$y=c_1 cos (\alpha t)+c_2 sen (\alpha t)$

Las constantes se puede determinar considerando las condiciones iniciales

$y(0)=c_1=0$

$y'(t)=c_2 \alpha cos (\alpha t) \Rightarrow y'(0)=200=c_2 \alpha$

Por lo tanto : $y(t)=(200/ \alpha) sen (\alpha t)$ Ec B

$z'=-\alpha y=- 200 sen(\alpha t) \Rightarrow z= (200/\alpha) (cos (\alpha t)-1)$ Ec C

Ahí está las 3 ecuaciones paramétricas A, B, C de la trayectoria del protón, en efecto es un hélice cilíndrica, su trayectoria se encuentra en una superficie cilíndrica $(z+(200/\alpha))^2+y^2=(200/\alpha)^2$ se deduce de las Ec B y C, se desprende que el radio es $(200/\alpha)$ y el eje del cilindro es una recta paralela al eje X que pasa por el punto $(0,0,-(200/\alpha))$ el avance al dar una vuelta será la variación de la coordenada x entre t=0 y $t=\frac{2 \pi}{\alpha}$

b) El resultado ha de ser independiente del campo eléctrico y se ha de cumplir trabajo de la fuerza eléctrica es igual a la variación de la energía cinética, saca conclusiones

Saludos

[luisdlr]

Buenos días,

¡Muchísimas gracias a todos! Entiendo el planteamiento y me pondré a ello ahora para terminar de resolverlo.

Agradezco mucho vuestra ayuda, y vuestras explicaciones. Gracias nuevamente

Un saludo

[JCB]

... / ...
¡Muchísimas gracias a todos! Entiendo el planteamiento y me pondré a ello ahora para terminar de resolverlo.

Agradezco mucho vuestra ayuda, y vuestras explicaciones. Gracias nuevamente
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Hola a tod@s.

Doy por supuesto que habrás querido decir para tratar de resolverlo (por tu cuenta).

Gracias a ti, luisdlr, por hacernos partícipes de estos ejercicios tan interesantes. Espero que sigas aportando más, aunque no te garantizo que pueda resolverlos, pero seguro que otros sí podrán hacerlo.

Alofre planteó el ejercicio con un tratamiento matemático riguroso. Yo lo planteé de manera más intuitiva (y en algún momento poco consistente) porque carezco de las herramientas matemáticas necesarias. Y por último, delmar7, de manera elegante y con una exposición muy rigurosa (“comme il faut”) aportó su solución.

Me ha quedado la curiosidad de saber si la solución de delmar7 coincide con la de mi respuesta.

1) Resultados obtenidos en el desarrollo de delmar7.

$R=\dfrac{200}{\alpha}$. Sustituyendo $\alpha=\dfrac{0,1q}{m}$, $R=\dfrac{2.000m}{q}$

$p=100t=100\dfrac{2\pi}{\alpha}=\dfrac{2.000\pi m}{q}$

2) Resultados indicados en mi respuesta # 3.

$R=\dfrac{mv\sin\theta}{qB}=\dfrac{2.000m}{q}$

$p=\dfrac{2\pi R}{\tan\theta}$. Sustityendo $R$, $p=\dfrac{2.000\pi m}{q}$

Parece que sí que concuerdan los resultados.

Saludos cordiales,
JCB.