Campo eléctrico en una distribución uniforme

[luisdlr]

Buenas tardes,

Quería pedir ayuda con un problema de Electromagnetismo que no sé plantear. El enunciado es el siguiente:

En el volumen definido por x₀ <= x <= x₀ + a (m), hay una distribución uniforme de densidad ρ (C/m³). Determinar el campo eléctrico en los puntos exteriores e interiores de la distribución.

Entiendo que debo aplicar Gauss, pero no sé a qué superficie debería aplicárselo... Comprendido esto quizás la resolución del ejercicio sea sencilla.

Muchísimas gracias de antemano,

Saludos cordiales

[Alriga]

Para calcular el campo en el exterior de la placa usa una superficie cilíndrica gaussiana con el eje del cilindro perpendicular a la placa, (bases del cilindro paralelas a la placa)

Hazte el dibujo.

Por simetría, el campo eléctrico debe ser perpendicular a la placa, por lo tanto solo hay flujo en las dos bases circulares del cilindro (el flujo a través de la cara lateral es cero)

$E_e S_b+E_e S_b=\dfrac Q {\epsilon_0}$

Si llamamos “e” al espesor de la placa, su volumen cargado interior al cilindro gaussiano es

$V=S_b \cdot e$

$Q=\rho V=\rho S_b \cdot e$

Sustituyendo y despejando:

$E_e=\dfrac{\rho \ e}{2 \epsilon_0}$

El espesor de la placa es, según el enunciado:

$e=(x_0+a)-x_0=a$

$$E_e=\dfrac{\rho \ a}{2 \epsilon_0}$$

Para calcular el campo interior $E_i$ se procedería a aplicar el Teorema de Gauss a un cilindro interior a la placa de forma similar. Yo de entrada lo plantearía pensando que la placa tiene espesor “a” y su centro está en el origen de coordenadas, y que la coordenada se llama “X” mayúscula.

Cuando tengamos el campo en función de “X” hacemos una traslación $X \rightarrow x$ para que el nuevo centro de la placa esté en donde dice el enunciado.

La principal diferencia respecto del cálculo anterior es que ahora el volumen con carga será:

$V=S_b \cdot 2 X$

Si no me equivoco, deberá salirte.

$E_i=\dfrac{\rho}{\epsilon_0} \ X$

La traslación debe ser:

$X=x-x_0-\dfrac a 2$

$$E_i=\dfrac{\rho}{\epsilon_0} \ \left ( x-x_0-\dfrac a 2 \right )$$

Campo interior significa que esta última expresión solo es válida para $x_0 \leq x \leq x_0+a$

Si la densidad carga $\rho$ es positiva, la dirección del campo eléctrico es en ambos casos (campo exterior e interior) perpendicular a la placa y alejándose del plano interno de simetría de ésta.

Saludos.