1r ciclo Ejercicio de corriente eléctrica

[Juan Padilla Cabrier]

Hola buenas, me podéis echar una mano con este ejercicio? me gustaría saber qué fórmulas aplicar y un poco el por qué, muchas gracias! un saludo!!
En este circuito la bombilla (12ohmnios) solo se enciende si disipa una potencia mayor de 4W. Los elementos del circuito son S1 y S2 (dos interruptores) C=0.3F(el condensador, inicialmente descargado) una batería de 45V, r=0.5 ohmnios, R1=1 ohmnio y R2=11 ohmnios.

(ME PODÉIS ACLARAR SI LA PRIMERA r=0.5 SE ESTÁ REFIRIENDO A LA RESISTENCIA QUE OFRECE EL CABLE O A QUÉ SE REFIERE?)

En t=0 cerramos S1 pero no S2:

a)¿cuanto tiempo pasará encendida la bombilla?

MUCHO TIEMPO MÁS TARDE, bombilla apagada, se abre S1 y simultáneamente se cierra S2:

b)¿Se encenderá otra vez la bombilla? si es asi, ¿durante cuanto tiempo?

c)Cuánto tiempo le costará a la corriente disminuir a la mitad de su valor inicial en ambos casos respecto a los instantes en los que cerramos uno u otro interruptor?

[Umbopa]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Tal y como yo lo entiendo $r$ es la resistencia interna de la pila, que es equivalente a poner una resistencia en serie con ese valor.

Que ecuaciones tienes que usar? muy sencillo, las leyes de Kirchhoff y la ecuación del condensador.

Te hago yo el primer apartado a modo de ejemplo y tu haces el resto.

a)¿cuanto tiempo pasará encendida la bombilla?

Llamemos:

1) A la intensidad sobre la pila $I_1$ (de abajo a arriba), la intensidad sobre $R_2$, $I_2$ (de abajo a arriba), y la intensidad sobre $C$, $I_3$ (de arriba a abajo).

2) La diferencia de potencial sobre la condensador $V_C$ y sobre la bombilla $V_B$ (siguiendo el sentido de la intensidad).

En $t=0$ se cierra $S_1$, así que:

$I_2=0$ y $I_1=I_3$

Para determinar $I_3$, $V_C$ y $V_B$ planteamos la ecuación de Kirchhoff.

$\varepsilon = I_3 \cdot (r+ R_1+R_B)+V_C$

y la ecuación del condensador:

$I_3 = C \cdot \frac{dV_C}{dt}$

y obtenemos un ecuación diferencial para $V_C$:

$\frac{d V_C}{dt} = -\frac{V_C-\varepsilon }{C \left(r+R_1+R_B \right)}$

cuya solución es

$V_C = \varepsilon + (V_C(0)-\varepsilon) \exp{\left[\frac{-t}{C(r+R_1+R_B)}\right]}$

Nos dicen que el condensador esta inicialmente descargado osea $V_C(0)=0$ y


$V_C = \varepsilon \left(1- \exp{\left[\frac{-t}{C(r+R_1+R_B)}\right]} \right)$

Y ahora ya sabes $I_3$ derivando $I_3 = C \cdot \frac{dV_C}{dt}$ y la potencia de la bombilla que es $I_3 \cdot R_B^2$.

Cualquier otra pregunta concreta, pregunta.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Mi fuerte no es el electromagnetismo pero a esto me le animo, si me equivoco, los mas duchos me corrijan

(ME PODÉIS ACLARAR SI LA PRIMERA r=0.5 SE ESTÁ REFIRIENDO A LA RESISTENCIA QUE OFRECE EL CABLE O A QUÉ SE REFIERE?)

Las fuentes de alimentación, baterías, pilas o cualquier dispositivo que genera una fuerza electromotriz o diferencia de potencial, al conectarlo a un circuito presenta por su propio diseño o cableado, una resistencia interna al paso de corriente, este el valor se ha supuesto de $0.5 \Omega$ para el problema.

a)¿cuanto tiempo pasará encendida la bombilla?

Hola Juan has visto que en otro hilo te he mencionado que la respuesta en tensión e intensidad de un circuito al cargarse o descargarse un capacitor seguía un función exponencial bueno este ejercicio es el ejemplo de ello.

Analizando la malla y usado ley de kirchoff llegamos a

$$\dst\sum_M \Delta V_i=0=\epsilon-i(t)r-i(t)R_1-i(t)R_L-\dfrac{Q(t)}{C}$$

donde $R_L$ es la resistencia de la lampara $12 \Omega$

sabemos que por definicion $i(t)=\dfrac{\partial Q(t)}{\partial t}$

por lo que la ecuacion la podemos escribir tomando factor común i(t) y reemplazando

$0=\epsilon-\dfrac{\partial Q(t)}{\partial t}(r+R_1+R_L)-\dfrac{Q(t)}{C}$

despejando llamando$R_{eq}=(r+R_1+R_L)$

$\dfrac{\partial Q(t)}{\partial t}=\dfrac{\epsilon-\dfrac{Q(t)}{C}}{R_{eq}}=\dfrac{C\epsilon-Q(t)}{CR_{eq}}$

esto es una ecuación diferencial de primer orden que se resuelve por integración en variables separadas


$\dfrac{d Q(t)}{C\epsilon-Q(t)}=-\dfrac{dt}{CR_{eq}}$

$\dst\int_0^{q}\dfrac{d Q(t)}{C\epsilon-Q(t)}=-\int_{t_o}^{t }\dfrac{ \dd t}{R_{eq}C}$

con $t_o=0$

$\ln(C\epsilon-Q)|_0^{q}=-\dfrac{t}{R_{eq}C}$

entonces

$Q(t)=C\epsilon\left (1-{e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )$

si derivamos con respecto al tiempo obtenemos la intensidad

$i(t)=\dfrac{\partial Q(t)}{\partial t}=+\dfrac{\epsilon}{R_{eq}}\left ({e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )=I_o\left ({e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )$

la potencia en la lampara es

$P=\dfrac{\Delta V}I(t)= {I(t)}^{ 2}R_L=R_L{I_o}^{2 }\left ({e}^{ -\dfrac{2t}{R_{eq}C}}\right )$

despejas el tiempo y reemplazas el valor de potencia 4W

$t=\dfrac{-R_{eq}C}{2} \ln \left ( \dfrac{P}{R_L{I_o}^{2 }}\right ) =\dfrac{-R_{eq}C}{2}\ln \left ( \dfrac{P}{R_L{\dfrac{\epsilon^{2 }}{R_{eq}^{2 }}}}\right )$

MUCHO TIEMPO MÁS TARDE, bombilla apagada, se abre S1 y simultáneamente se cierra S2:

b)¿Se encenderá otra vez la bombilla? si es asi, ¿durante cuanto tiempo?

Sabemos que luego del transitorio, por ello lo de un tiempo mas tarde la diferencia de potencial entre las placas del capacitor será

$\Delta V_c=\epsilon$ y que la carga del capacitor es $Q=\dfrac{\Delta V_c}{C}=\dfrac{\epsilon}{C}$

la resistencia del circuito
$R_{eq2}=R_L+R_1+R_2$

la corriente en el circuito es

$i(t)= \dfrac{\Delta V_c(t)}{R_{eq2}}=\dfrac{Q(t)}{CR_{eq2}}$

a la vez la corriente es es lo cae la carga por unidad de tiempo

$i(t)=-\dfrac{\partial Q(t)}{\partial t}=\dfrac{Q(t)}{CR_{eq2}}$

Esta es una nueva ecuación diferencial que se resuelve también por integración de variables separadas

$\dfrac{dQ(t)}{Q(t)}=-\dfrac{d t}{CR_{eq2}}$


$\dst\int_{Q_i}^{Q_f }\dfrac{dQ(t)}{Q(t)}=\int_{t_o}^{t }-\dfrac{d t}{CR_{eq2}}$

resultando
$<br /> \ln \dfrac{Q_f }{Q_i}=\ln \dfrac{V(t) }{\epsilon}=-\dfrac{t}{CR_{eq2}}<br />$



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


donde la corriente inicial es $I_i =\dfrac{\epsilon}{R_{eq2}}$

de nuevo tienes que hacer la ecuacion de la potencia igualada a 4 W y despejar el tiempo

$t=\dfrac{-R_{eq2}C}{2}\ln\left ( \dfrac{P}{R_L{I_i}^{2 }}\right )$

c)Cuánto tiempo le costará a la corriente disminuir a la mitad de su valor inicial en ambos casos respecto a los instantes en los que cerramos uno u otro interruptor?

sabes que $Q(t)=C\epsilon\left (1-{e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )$ y la diferencia de potencial sale dividiendo por la capacidad
$<br /> V(t)=\dfrac{Q(t)}{C}=\epsilon\left (1-{e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )$


para la carga del capacitor hasta la mitad del voltaje haces

$\dfrac{V}{\epsilon}=\dfrac 12=\left (1-{e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )$

y despejas el tiempo

para la descarga hasta la mitad del voltaje


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y despejas el tiempo

puedes hallar mas información Aquí

http://es.slideshare.net/yesidgutier...xt_slideshow=1

https://es.wikipedia.org/wiki/Conden...el%C3%A9ctrico


para el ejercicio de http://forum.lawebdefisica.com/threa...El%C3%A9ctrica

lee como será la respuesta de la inductancia y propone tus dudas, https://es.wikipedia.org/wiki/Inductor



Saludos

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Hola buenas, pues no entiendo por qué en lo primero que dices, pintamos las intensidades de la pila, la R2 y el condensador, y ni de la bombilla ni de la R1.
Muchas gracias!

[Umbopa]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

La de R1 la del condensador y la de la bombilla es la misma porque recorre el mismo hilo. La intensidad solo cambia en una bifurcación (nodo) y se cumple la primer ley de Kirchhoff que dice que la suma de la intensidad que entra en el nodo es igual a la que sale, en este caso $I_1+I_2=I_3$.

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Me parece que no lo veo. ¿No hay que tener en cuenta la r(resistencia bateria) la R1(resistencia 1) la R2(resistencia 2) y luego el Condensador y la Bombilla?

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Hola Juan

La intensidad solo cambia en una bifurcación (nodo) y se cumple la primer ley de Kirchhoff que dice que la suma de la intensidad que entra en el nodo es igual a la que sale, en este caso $I_1+I_2=I_3$.

$I_1+I_2=I_3$

Es cierto siempre,

En t=0 cerramos S1 pero no S2:

cuando S2 esta abierta (el interruptor corta el paso de la corriente) por la rama 2 no pasa corriente, entonces $I_1=I_3$ e $I_2=0$

Te queda un circuito de 1 sola malla las resistencias que se encuentran en la malla, no importa el orden son $r,R_1$ y $R_L$
la resistencia equivalente del circuito es la suma de todas ellas $R_{eq}=r+R_1+R_L$
Por $R_2$ no pasa corriente y no influye en el circuito

revisa mi procedimiento y llegas a

$Q(t)=C\epsilon\left (1-{e}^{ -\dfrac{t}{R_{eq}C}}\right )$

se abre S1 y simultáneamente se cierra S2:

Aqui estas suponiendo que el capacitor tubo el sufiente tiempo para cargarse y en la maniobra simultanea de cierre y abre de llaves lo comienzas a descargar.

Cuando S1 esta abierta (el interruptor corta el paso de la corriente) por la rama 1 no pasa corriente, entonces $I_2=I_3$ e $I_1=0$


Te queda un circuito de 1 sola malla las resistencias que se encuentran en la malla, no importa el orden son $R_1,R_2$ y $R_L$
la resistencia equivalente del circuito es la suma de todas ellas $R_{eq2}=R_1+R_2+R_L$

Por $r$ o la pila no pasa corriente y no influyen en el circuito en este momento

Revisa mi procedimiento y llegas a


$V(t)=\epsilon {e}^{-\dfrac{t}{CR_{eq2}} }$

entonces $Q(t)=CV(t)$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿No hay que tener en cuenta la r(resistencia bateria) la R1(resistencia 1) la R2(resistencia 2) y luego el Condensador y la Bombilla?

Cuando resuelves un malla no importa el orden de los sumandos, y el sentido que supongas a la corriente para respetarlo siempre ( cuando obtengas un valor negativo de corriente es que has supuesto el sentido contrario al que tiene en realidad)

da lo mismo escribir

$<br /> \dst\sum_M \Delta V_i=0=\epsilon-i(t)r-i(t)R_1-i(t)R_L-\dfrac{Q(t)}{C}$

o esto

$\dst\sum_M \Delta V_i=0=-\dfrac{Q(t)}{C}-i(t)R_L-i(t)R_1-i(t)r+\epsilon$
o esto

$\varepsilon = I_3 \cdot (r+ R_1+R_B)+V_C$

es la misma ecuación que resuelve la malla de la parte a del problema.

lo que tienes que identificar bien es que elementos estarán dentro de la malla cuando abras y cierres cada uno de los interruptores.

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Otra cosilla, en R2, la intensidad no irá de arriba a abajo? parece lógico con la fuente en esa posición.

- - - Actualizado - - -

Genial, el apartado a) lo he entendido bien, solo una cosa: teniendo la fórmula de la potencia sacada (quiero decir que la tengo en mis formulas) no me haría falta todo el desarrollo anterior no? yo parto de la fórmula y sustituyo igual que tu, me da un resultado para t y listo no?

Y otra cosa más, el t que me sale, ¿porque es el tiempo que está encendida la bombilla y no es ,por ejemplo, el tiempo que tarda la bombilla en encenderse? quiero saber el razonamiento por el cual tu deduces que el tiempo por el que nos preguntan en el enunciado es la "t" de la fórmula que conocemos de la i(t).

Muchas gracias Richard! Un saludo!

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Otra cosilla, en R2, la intensidad no irá de arriba a abajo? parece lógico con la fuente en esa posición.

Puedes suponerla como quieras, mientras sigas la ley de nodos . Si da negativa es que el sentido de circulación es el contrario al supuesto para resolver.

Genial, el apartado a) lo he entendido bien, solo una cosa: teniendo la fórmula de la potencia sacada (quiero decir que la tengo en mis formulas) no me haría falta todo el desarrollo anterior no? yo parto de la fórmula y sustituyo igual que tu, me da un resultado para t y listo no?

Me alegro que sirva, si solo usas la formula llegaras al resultado y nada mas, pero de que sirve la formula si no sabes cuando usarla o con que elementos completarla, si sabes hacer la deducción la fórmula, el resto es pan comido , acordarse de memoria no sucede siempre.... efectivamente despeja t y es tu tiempo.

Y otra cosa más, el t que me sale, ¿porque es el tiempo que está encendida la bombilla y no es ,por ejemplo, el tiempo que tarda la bombilla en encenderse? quiero saber el razonamiento por el cual tu deduces que el tiempo por el que nos preguntan en el enunciado es la "t" de la fórmula que conocemos de la i(t).

Fijate que la intensidad decae desde un maximo en t=0 es decir solo hay corriente elevada durante un lapso de tiempo,
cuando del capacitor comienza a llenarse de carga, la corriente disminuye, y como la potencia es proporcional al cuadrado de la corriente, solo habra potencia durante el transitorio de carga, es decir entre t=0 y el tiempo t de la formula

En la parte b y en los 2 casos de c sucede lo mismo .

Saludos

[Juan Padilla Cabrier]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Pero es que el enunciado dice que la bombilla solo se enciende cuando disipa una P>4w, ¿quieres decir que el resultado t es el tiempo que tarda en disipar los 4w? ¿o es el tiempo que pasa desde que disipa los 4w hasta que se carga el condensador? Es que no se si lo habeis tenido en cuenta.

- - - Actualizado - - -

Hola Richard, otra pregunta: en el apartado b), cuando se cierra el segundo interruptor y se supone que el condensador está totalmente cargado, su épsilon(fuerza electromotriz) es igual a la diferencia de potencial entre sus dos patillas (incremento de V) y ¿ese valor de épsilon es el mismo que daba el enunciado (45V)?

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de corriente eléctrica

Pero es que el enunciado dice que la bombilla solo se enciende cuando disipa una P>4w,

Correcto

¿quieres decir que el resultado t es el tiempo que tarda en disipar los 4w?

No....el Watt o Vatio esn una unidad de potencia... es la energía que disipa por unidad de tiempo, t es el tiempo hasta que la potencia que disipa la lampara decae hasta los 4 W.

¿o es el tiempo que pasa desde que disipa los 4w hasta que se carga el condensador? Es que no se si lo habeis tenido en cuenta.

Si que lo tenemos en cuenta, haz la gráfica de la potencia en función del tiempo, verás que es también exponencial decreciente y cortara la horizontal de los 4W solo una vez, en el tiempo t que has calculado, verás que solo la función es mayor a 4 W (para que la lampara este encendida) mientras el tiempo es menor a ese t calculado.

Hola Richard, otra pregunta: en el apartado b), cuando se cierra el segundo interruptor y se supone que el condensador está totalmente cargado, su épsilon(fuerza electromotriz) es igual a la diferencia de potencial entre sus dos patillas (incremento de V) y ¿ese valor de épsilon es el mismo que daba el enunciado (45V)?

En teoría un capacitor llega a su carga máxima en un tiempo infinito....pero no tarda demasiado en llegar al 99,999% de su carga(idealizamos que a esas alturas ya se cargó totalmente), por lo que la intensidad se hace casi nula y la diferencia de potencial entre sus bornes es aproximadamente igual a la Fem de la batería 45V.( Y esto sucede igual no importa la resistencia interna de batería) r)