Ejercicio de Fuerza Electrica

[geamxd]

Buenas noches les traigo un problema de Fuerza Electrica.

Se tienen dos cargas puntuales positivas Q fijas sobre el eje X en x=a y x=-a. Se coloca una tercera carga puntual, q, con masa m, sobre el eje X, fuera del origen en una coordenada x tal que lxl<a. Después se libera la carga q, que tienen libertad de movimiento a lo largo del eje X.

a) Obtenga la frecuencia de oscilación de la carga q.
b) Suponga que la carga q se colocara sobre el eje Y en una coordenada y tal que lyl<<a y luego se liberara. Si esta carga tuviera libertad para moverse a cualquier parte del plano XY, ¿Qué pasaría con ella?


Bueno eh tenido dificultades en resolverlo y mas aun en la parte a) donde me piden la frecuencia, por favor si alguien me pudiera ayudar, gracias.

[delmar7]

Hola
Sencillamente usar la 2da Ley de Newton y la Ley de Coulomb, se tienen 2 cargas Q, inmóviles creadoras de un campo electrostático, en las posiciones (a, 0) y (-a, 0) denominando carga 1 y 2 respectivamente y se tiene una carga q denominada carga 3, en una posición inicial $(x_0,0)$, bajo estas condiciones se tiene :

Carga 3
El vector posición $\vec{r}(t) =x\vec{i}$
La velocidad $\vec{v}(t)=x'\vec{i}$
Aceleración $\vec{a}(t) =x''\vec{i}$

Fuerza que ejerce carga 1 sobre 3
$\vec{F_{13}}=-\frac{KQq}{(x-a)^2}\vec{i}$

Fuerza que ejerce carga 2 sobre 3
$\vec{F_{23}}=\frac{KQq}{(x+a)^2}\vec{i}$

Obviamente K es la constante de Coulomb, luego aplicar Ley de Newton

$\vec{F_{23} } +\vec{F_{13}}=m\vec{a}\Rightarrow {\frac{-KQq4ax} {(x^2-a^2)^2} =mx''}$ Ec1

Considerando que en t=0, $x(0)=x_0$ y $x' (0)=0$ la Ec 1 se puede resolver por integraciones sucesivas, qué tal si lo avanzas.
En el apartado b) la carga se mueve a lo largo del eje Y por simetría de fuerzas, y de manera semejante el análisis.

Saludos

[Alriga]

Hola geamxd, adicionalmente a lo que te explica el compañero delmar7, puede interesarte repasar otros ejercicios con cierta similitud:

Con similitudes con el apartado (a) el hilo Gráfico posición - tiempo y velocidad - tiempo de un electrón atraído por un protón

Para el apartado (b) el hilo Ejercicio cargas puntuales

Se tienen dos cargas puntuales positivas Q fijas sobre el eje X en x=a y x=-a. Se coloca una tercera carga puntual, q, con masa m, sobre el eje X, fuera del origen en una coordenada x tal que lxl<a. Después se libera la carga q, que tienen libertad de movimiento a lo largo del eje X.

a) Obtenga la frecuencia de oscilación de la carga q

El enunciado no lo dice, pero la carga "q" ha de ser también positiva para que haya movimiento oscilante. Ya que si la carga "q" fuese negativa, chocaría contra la carga "Q" positiva más cercana a la posición inicial de "q"

$F_{13}=-\dfrac{K q Q}{(a-x)^2}$

$F_{23}=\dfrac{K q Q}{(a+x)^2}$

$F=F_{13}+F_{23}=-\dfrac{K q Q}{(a-x)^2}+\dfrac{K q Q}{(a+x)^2}=m \ddot x$

$\ddot x=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dv}{dx} v$

$\dfrac{K q Q}m \left [ \dfrac 1{(a+x)^2} - \dfrac 1{(a-x)^2} \right ] \dd x=v \ \dd v$

Ecuación diferencial en variables separadas. Integrando:

$-\dfrac{2 K q Q a}{m (a^2-x^2)} + C =\dfrac{v^2}2$

Ya tenemos la velocidad $v=v(x)$. Ahora hay que imponer las condiciones iniciales $x=x_0 \rightarrow v=0$ para obtener la constante de integración y volver a integrar para obtener la posicion $x=x(t)$

b) Suponga que la carga q se colocara sobre el eje Y en una coordenada y tal que lyl<<a y luego se liberara. Si esta carga tuviera libertad para moverse a cualquier parte del plano XY, ¿Qué pasaría con ella?...

Ahora hay 2 posibilidades:

1. Si la carga "q" es positiva será repelida y se alejará indefinidamente a lo largo del eje "Y"
2. Si la carga "q" es negativa realizará un movimiento armónico simple en el eje "Y", como se explica en el 2º enlace que he insertado arriba.

Saludos.