1r ciclo Ejercicio cargas puntuales

[lizettsofia23]

Hola, podría alguien ilustrarme con este problema, Dos cargas puntuales idénticas +q está fijas en el espacio y separadas por una distancia d. Una tercera carga puntual -Q puede moverse libremente y se encuentra inicialmente en reposo en un bisector perpendicular de la línea que conecta las dos cargas fijas a una distancia x de la línea (ver figura). A) Muestre que, si x es pequeña en relación con d, el movimiento de -Q es armónico simple a lo largo del bisector, y determine el periodo de este movimiento. B) ¿Qué tan rápido se mueve Q cuando está en el punto intermedio entre las dos cargas fijas?

Es relativamente sencillo pero mientras intento desarrollarlo se me genera un gran enredo en la cabeza, por ejemplo en la sección a tenia yo entendido que el movimiento armónico se da en un solo eje pero si hablamos de bisector no seria como trazar una linea recta en diagonal entre x y y Dando así dos componentes de movimiento para la carga que ahí nombran? Siendo asi el movimiento seguiría siendo armónico ? y el periodo de ese movimiento seria como calcular el tiempo no ? pero entonces siendo todo en letras debe darme un valor indiciado o tentativo o debe darme un valor escalar ? y pues la ultima si realmente no he sabido mucho analizarla- pdata. En primera instancia creo que todo debería desarrollarlo fácilmente por la ley de coulomb estaría errada o en lo correcto? Agradezco cualquier ayuda de antemano

[arivasm]

Re: Ejercicio cargas puntuales

En primer lugar, por "bisector perpendicular de la línea que conecta a las dos cargas fijas" se refiere al eje horizontal que aparece en el dibujo. Mientras que tú te estás refiriendo a la bisectriz del ángulo que forman las dos líneas del dibujo.

La verdad es que la terminología que usa el enunciado es un tanto peculiar.

En segundo lugar, aunque no sea el caso, nada impide que un oscilador armónico tenga dos componentes. Es más, nada obliga a que el eje X coincida con la trayectoria del oscilador.

Por último, el movimiento de este ejercicio no es, en general, un oscilador armónico. Solo lo es si la amplitud de la oscilación es pequeña frente a d, tal como dice el enunciado. Desde este punto de vista, la situación es análoga a lo que sucede con el péndulo simple: solo es un oscilador armónico si las oscilaciones son de pequeña amplitud.

Una forma de abordar este ejercicio es prestar atención a que la fuerza sobre -Q tiene carácter restaurador, y de valor

$F_x=-2k\dfrac{Qq}{\left(x^2+\frac{d^2}{4}\right)^\frac{3}{2}}x$

Ahora bien, puesto que estamos manejando la aproximación $x\ll d$, podemos despreciar el término en x en el denominador, de manera que

$F_x\approx -16 k\dfrac{Qq}{d^3}x$

Con lo que ya tenemos una fuerza resultante que cumple la ley de Hooke.

[Alriga]

Re: Ejercicio cargas puntuales

Hola lizettsofia23, bienvenida a La web de Física, por favor como miembro reciente echa un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva



La fuerza que ejerce por ejemplo la carga de arriba según la Ley de Coulomb

$F_1=K \dfrac{qQ}{\dfrac{d^2}{4}+x^2}$

$K=\dfrac 1 {4 \pi \varepsilon_0}$

La componente horizontal de esa fuerza

$F_{1x}=-K \dfrac{qQ}{\dfrac{d^2}{4}+x^2} \cdot \cos \left ( \arctan \dfrac{d/2}{x}\right )$

Recordando que

$\cos \ (\arctan u) = \dfrac{1}{\sqrt{1+u^2}}$

Tenemos

$F_{1x}=-K \dfrac{qQ}{\dfrac{d^2}{4}+x^2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{d^2}{4x^2}}}$

Simplificando

$F_{1x}=-K \dfrac{qQ}{(d^2+4x^2)^{3/2}} \ 8 x$

De la componente vertical de la fuerza no nos ocupamos, porque será igual a la que crea la carga de abajo pero de sentido contrario, por lo tanto ambas se compensarán y la componente vertical total es nula.

La componente horizontal de la fuerza que ejerce la carga de abajo es igual a la de arriba, por lo tanto la componente horizontal total es

$F_x=- 16 K \dfrac{qQ}{(d^2+4x^2)^{3/2}} \ x$

Si x es pequeña en relación con d podemos aproximar $d^2+4x^2 \approx d^2$ y nos queda:

$F_x=- \left (16 K \dfrac{qQ}{d^3}\right ) \ x$

Llamando

$k=16 \ K \ \dfrac{q \ Q}{d^3}$

Nos queda

$F_x = - k \ x$

Que es un movimiento armónico simple de constante "k"

Repasa los cálculos por si hay algún error en las operaciones. Ahora puedes aplicar todo lo que ya sabes del movimiento armónico simple de constante "k" para resolver fácilmente los apartados del problema, (llama "m" a la masa de la carga "Q"). Si tienes alguna duda más, vuelve a preguntar.

Saludos.

PD. Ups, me he vuelto a "tropezar" con arivasm, saludos Antonio

[lizettsofia23]

Re: Ejercicio cargas puntuales

Muy amables ambos muchas gracias !!