Campo magnético

[medina00]

La figura muestra una lámina delgada de anchura w y grosor despreciable contenida en el plano XZ por la que circula una corriente por unidad de longitud $\lambda = \frac{di}{dx} = \frac{I_{\text{1}}}{w}$ (constante) en la dirección paralela al eje Z. La longitud de la lámina L es mucho mayor que w, por lo que se puede considerar infinita.

a)Calcular y dibujar el vector campo magnético en un punto P(x',0,0) del eje OX para x`>w

A una distancia d, paralela a la lámina, se coloca un cable rectilíneo infinito por el que circula una corriente I₂

b)Calcular y dibujar la fuerza magnética por unidad de longitud que ejerce la lámina sobre el cable rectilíneo.

Datos:I₁,I₂,W,$\lambda$,L,X',$\mu_0$

Apartado A: Mediante la regla de la mano derecha he sacado la dirección y sentido del campo -j
$\vec{db} = \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right) \left(I_1 (\vec{dl} \times \vec{ur}) \cdot \frac{1}{r^2}\right) = \left(\frac{\mu_0}{4\pi}\right) \frac{I_1 \ dl \ ur \ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{r^2}<br />$

$B = \int dB = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{I_1 \ dl}{r^2} = \frac{\mu_0 \cdot I_1}{4\pi} \int_{w}^{x'} \frac{dx'}{(x' - w)^2}=\mu_0 \cdot I_1 \cdot \frac{-1}{4\pi} \left[ \frac{1}{{x' - w}} \right]_{w}^{x'}$

He hecho esto pero esta mal porque al sustituir los límites en la integral me queda -1/0.

Y el apartado B no sé como hacerlo porque al no tratarse de una barra ni una espira no sé que fórmula debo usar. Si alguien puede explicarme que he planteado y hecho mal del apartado a lo agradecería mucho. Y explicarme cómo resolver el b. Gracias!

[delmar7]

Hola

La parte b) del enunciado lleva a entender que tanto la lámina como el conductor son infinitos tanto en la dirección positiva como negativa del eje Z, de lo contrario la fuerza sobre la unidad de longitud del conductor no sería constante.Con esta aclaración ha de entenderse que la lámina esta determinada por las condiciones : $0\leq x \leq w \wedge -M\leq z \leq M \wedge y=0$ donde para análisis L=2M, luego se hará tender al infinito M. Por cada elemento $\Delta x, \ \Delta z$ de la lámina, asociado al punto P (x,0,z) circula una carga $\Delta q= \lambda \Delta x \Delta T$ con una velocidad $\vec{v}=-v \vec{k}$, esta carga crea un campo magnético en el punto A (a,0,0) por sencillez, es decir x'=a, el campo magnético creado por esta carga móvil es : $d\vec{B}=\frac{\mu}{4 \pi} \ \frac{\Delta q \ (-v\vec{k}) \ X \ \vec{u_r}}{r^2}$ donde :

$\Delta q= \lambda \Delta x \Delta T$

$r^2=(a-x)^2+z^2$

$\vec{u_r}=cos \theta \vec{i}-sen \theta \vec{k}$ es el vector unitario del vector PA, donde $\theta$ es el ángulo que forma este vector unitario con el eje positivo de las X. En este punto se observa que la lámina es simétrica respecto al eje X, el campo generado por el elemento simétrico (asociado a un punto P' simétrico a P) es

$d\vec{B'}=\frac{\mu}{4 \pi} \ \frac{\Delta q \ (-v\vec{k}) \ X \ \vec{u'_r}}{r^2}$ lo único que cambia es el vector unitario, no hay acumulación de carga es decir la velocidad es la misma en todo lugar y en todo momento, especificando :

$\vec{u'_r}=cos(- \theta) \vec{i}-sen (-\theta) \vec{k}=cos( \theta) \vec{i}+sen (\theta) \vec{k}$

Ambas cargas crean campos iguales $d\vec{B}=d\vec{B'}=\frac{- \ \mu \ \Delta q}{4 \pi} \ \frac{v cos \theta}{(a-x)^2+z^2} \vec{j}$ es claro que es suficiente encontrar el campo magnético creado por l semilámina positiva y multiplicarla por 2 y teniendo en cuenta que $cos \theta=\frac{a-x}{\sqrt[]{(a-x)^2+z^2}}$ se tiene que el campo magnético de la lámina es :

$\vec{B}=\lim {M \rightarrow \infty} \ \ 2 \ \iint \frac{- \mu \lambda}{4 \pi} \ \frac{(a-x)}{((a-x)^2+z^2)^{3/2}} \ dx dz$ se ha considerado que $\Delta z=v \Delta T$

Esto es integrable en cualquier orden. A ver si lo resuelves.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

El apartado a) lo resolvería de la siguiente manera: como el propio enunciado indica, la lámina se puede considerar de longitud infinita. En este caso, el campo magnético que crea una intensidad de corriente $di$ en el punto $P$, es $\vec{dB}=\dfrac{\mu_0di}{2\pi r}(-\hat k)$, siendo $r$ la distancia entre $di$ y $P$. Como $di$ está a una distancia $x$ del origen de coordenadas, $r=x'-x$, $\vec{dB}=\dfrac{\mu_0di}{2\pi(x'-x)}(-\hat k)$.

También según el enunciado, $di=\dfrac{I_1}{w}dx$. Sustituyendo en la expresión anterior,

$\vec{dB}=\dfrac{\mu_0I_1dx}{2\pi w(x'-x)}(-\hat k)$. Integrando,

$\vec{B}=\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi w}\displaystyle\int_{0}^{w}\dfrac{dx}{x'-x}(-\hat k)$

Resolviendo la integral $(u=x'-x)$, llego a que $\vec{B}=\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi w}\ln\dfrac{x'}{x'-w}(-\hat k)$

Saludos cordiales,
JCB.