Barra sobre conductores paralelos

[luisdlr]

Buenos días,

He encontrado este ejercicio sobre electromagnetismo que me parece interesante, pero no sé cómo resolverlo, y me gustaría pedir vuestra ayuda. El enunciado es el siguiente:

Sobre dos carriles conductores y paralelos, separados por una distancia a, se puede mover sin rozamiento una barra metálica de masa m, perpendicular a los carriles. En un extremo de los carriles, y conectado entre ambos, hay un resistor de resistencia R, siendo la resistencia de los carriles y la barra despreciable frente a R. Perpendicularmente al plano de los carriles, hay un campo magnético B uniforme. Si en el instante t=0 se le da a la barra una velocidad v₀, perpendicular a ella y en un sentido tal que se aleja del resistor, calcúlese:
a) El tiempo que tarda en pararse la barra.
b) La distancia que recorre antes de pararse.
c) La energía disipada en el resistor durante todo el proceso.

Tengo tantos datos que no sé ni por dónde empezar, y estoy hecho un lío... Agradezco muchísimo vuestra ayuda.

Muchísimas gracias nuevamente,

Saludos cordiales

[JCB]

Hola a tod@s.

Establezco que los carriles estén sobre el plano horizontal $XZ$, con uno de ellos coincidente con el eje $X$. También fijo que el campo magnético vertical es $\vec{B}=B\hat\jmath$ y que $\vec{dS}=dS\hat\jmath$.

El flujo magnético es $\Phi=\displaystyle\int_{S}\vec{B}\vec{dS}=Bax$

La fem inducida es $\epsilon=-\dfrac{d\Phi}{dt}=-Ba\dfrac{dx}{dt}=-Bav$

La corriente inducida es $i=\dfrac{\epsilon}{R}=\dfrac{Bav}{R}$. El sentido de esta corriente es horario.

La fuerza magnética es $\vec{F}=\displaystyle\int_{L}i(\vec{dl}\times\vec{B})$, siendo $\vec{dl}=dl\hat k$

$\vec{F}=\dfrac{B^2a^2v}{R}(-\hat\imath)$. La fuerza magnética se opone al movimiento de la barra.

$\sum{F}=ma$. Como tanto la velocidad como la aceleración tienen la dirección del eje $X$,

$-\dfrac{B^2a^2v}{R}=m\dfrac{dv}{dt}$

Llegado a este punto, creo que puedes continuar.

Saludos cordiales,
JCB.

[JCB]

Hola a tod@s.

Para que sea de utilidad a otros visitantes del foro (y a mí mismo), vuelvo a este ejercicio. Por otra parte, me acabo de dar cuenta de que denominar $"a"$, a la distancia entre conductores, ha sido poco afortunado porque podría llegar a confundirse con la aceleración. Aún y así, voy a mantener esa denominación.

Integrando la última expresión del mensaje # 2,

$v=v_0\eee{-\frac{B^2a^2t}{mR}}$. La barra llega a detenerse, cuando $t\longrightarrow\infty$ (apartado a).

Integrando otra vez,

$x=\dfrac{v_0mR}{B^2a^2}\left(1-\eee{-\frac{B^2a^2t}{mR}}\right)$. Cuando $t\longrightarrow\infty$, como el segundo término de dentro del paréntesis tiende a cero, $x=\dfrac{v_0mR}{B^2a^2}$ (apartado b).

En el apartado c), reside mi interés principal, porque es el que me ha resultado más arduo. Como la intensidad es variable (depende de la velocidad en cada instante), en un tiempo $dt$, la energía disipada en la resistencia es

$dE=Ri^2dt=R\dfrac{B^2a^2v^2}{R^2}dt=\dfrac{B^2a^2v^2}{R}dt$. Sustituyendo $v=v_0\eee{-\frac{B^2a^2t}{mR}}$ e integrando,

$E=\dfrac{B^2a^2}{R}\displaystyle\int_{0}^{\infty}v_0^2\left(\eee{-\frac{B^2a^2t}{mR}}\right)^2dt=\dfrac{B^2a^2v_0^2}{R}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\left(\eee{-\frac{B^2a^2t}{mR}}\right)^2dt= \dfrac{B^2a^2v_0^2}{R}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\eee{-\frac{2B^2a^2t}{mR}}dt=\dfrac{1}{2}mv_0^2$

Es decir, que la energía disipada en la resistencia coincide (en valor absoluto) con la variación de la energía cinética. Resultado esperable y que se puede obtener más fácilmente, si hubiese aplicado directamente el teorema de las fuerzas vivas: el trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de la energía cinética, $\sum{W}=\Delta E_c$. En nuestro caso, la única fuerza que interviene es la magnética (que no es conservativa) y su trabajo se convierte en calor disipado en la resistencia.

Nota: alternativamente también se podría calcular el trabajo (no conservativo) de la fuerza magnética como

$dW=Fdx=Fvdt=\dfrac{B^2a^2v^2}{R}dt$, e integrando.

Saludos cordiales,
JCB.