Calcular diferencia de potencial entre dos puntos

[medina00]

Enunciado: En el espacio hay un campo electroestático $\vec{E} =E_0 \hat{\mathbf{i}}$ donde $E_0$ es constante.

A)Calcular la diferencia de potencial entre los puntos A y B a través del camino indicado en la figura.

La solución es: VB-VA=-$\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot \vec{dl}<br />$
V0-VA=-$\int_{A}^{0} \vec{E} \cdot \vec{dl}$=$\int_{A}^{0} E_0 \cdot dl \cdot \cos 60$=[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] =$\-E_0 \cdot \frac{D}{2}\<br />$
VB-V0=-$\int_{0}^{B} \vec{E} \cdot \vec{dl}$=$\int_{0}^{B} E_0 \cdot dl \cdot \cos 120$=$\-E_0 \cdot \frac{D}{2}\<br />$
Y luego: (VB-V0)+(V0-VA)=0
VB-VA=0

No entiendo por qué hace el punto intermedio V0-VA Y V0-VB y no hace directamente VB-VA.
Tampoco entiendo porque multiplica por coseno de 60 y 120. Y tampoco por que una vez obtenida la integral no sustituye los límites de integración y pone d/2 en vez de a/2 o b/2.

[Alriga]

Recuerda que el campo eléctrico es conservativo, lo que implica que la diferencia de potencial entre dos puntos no depende del camino elegido para ir del punto inicial al punto final. En este ejemplo, si usas el camino directo de A a B, al ser todo este camino perpendicular al campo $\vec{E} =E_0 \ \hat{\mathbf{i}}$, el producto escalar del campo por el desplazamiento es cero y por lo tanto la diferencia de potencial entre A y B es cero. Cualquier otro camino que uses, también deberá darte cero.

Dicho de otro modo, A y B están en una misma superficie equipotencial de este campo. Las superficies equipotenciales de este campo son todos los planos perpendiculares al eje X

...Tampoco entiendo porque multiplica por coseno de 60º y 120º...

Observa que el ángulo que forma el vector campo con el vector que va de A a D es 60º, mientras que el ángulo que forma el vector campo con el vector que va de D a B es 120º

Saludos.

[medina00]

Muchas gracias ya lo he entendido. Ahora mi única duda es por que el resultado final es: (-E_0 *d)/2 en el caso Vd-va y no es: (E_0*a)/2 , es decir porque no sustituye los límites de integración

[JCB]

Hola a tod@s.

$V_D-V_A=-\displaystyle\int_{A}^{D}\vec{E}\vec{dl}=-\displaystyle\int_{A}^{D}E_0dl\cos 60^{\circ}=-\dfrac{E_0}{2}\displaystyle\int_{A}^{D}dl=-\dfrac{E_0}{2}d$. Fíjate, medina00, que esta integral que has escrito en el enunciado, tiene el signo positivo (incorrecto).

Los límites de la integral, señalan al punto A y al punto D, y los puntos no tienen dimensión. $\displaystyle\int_{A}^{D}dl$, esta integral es la distancia que hay entre el punto A y el punto D, es decir, $d$.

Saludos cordiales,
JCB.