Otras carreras Campo electrico en cascarón

[Langraniano]

Considere una carga puntual q > 0 situada en el origen de coordenadas, que a su vez es el centro de un cascaron esf ́erico de radio interior a y exterior b. El cascaron esta uniformemente cargado con una densidad volumetrica de carga $\rho_o = -3q/[4\pi(b^3 - a^3)]$. Calcule:

a) El campo electrico en todos los puntos del espacio

b) El potencial electrico en todos los puntos del espacio



Tengo problemas para hallar el campo entre a < r < b y b < r , ya que no se como trabajar con esa densidad de carga o si hay que integrarla.

Saludos y muchas gracias.

[Al2000]

Re: Campo electrico en cascarón

Dada la simetría esférica de la distribución de cargas, hallar el campo eléctrico usando el teorema de Gauss es muy simple. Te dejo a ti las apropiadas consideraciones de simetría que nos permiten concluir que el campo es radial; la magnitud del campo a cualquier distancia $r$ valdrá:

$$\oint \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol S = \frac {q_\text {neta}}{\epsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {q_\text {neta}} {r^2}$$

Lo que queda pendiente es determinar cuánto vale $q_\text {neta}$ para $r$ perteneciente al rango que se desee. Por ejemplo, para $a \leqslant r \leqslant b$, la carga neta sería:

$$q_\text {neta} = q + \rho_0 \times \frac {4 \pi } 3 \left(r^3 - a^3\right)\,, \quad a \leqslant r \leqslant b$$

Te dejo a ti sustituir $\rho_0$ y simplificar. En particular observa que el campo será nulo para $r>b$ pues la carga total del cascarón es $-q$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Langraniano]

Re: Campo electrico en cascarón

Gracias por la ayuda, pero no entiendo porque el campo es nulo para $r > b$. ¿La carga neta para $r > b$ no sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

[The Higgs Particle]

Re: Campo electrico en cascarón

¿La carga neta para $r > b$ no sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ?

Claro, y en ese caso $\rho_0 = \dst \frac{-3q}{4 \pi (b^3-a^3)}$, de forma que el producto $\rho_0 \times V$ (que, en este caso, al estar fuera del cascarón, $V$ es el volumen completo), nos sale:

$\left( \dst \frac{-3q}{4 \pi (b^3-a^3)}\right) \times \left( \dst \frac{4}{3} \pi (b^3-a^3)\right) = - q$

Así:

$q_{neta} = q -q = 0$

[Fedor]

Re: Campo electrico en cascarón

En particular observa que el campo será nulo para $r>b$ pues la carga total del cascarón es $-q$.

Pues me surgió una duda. El campo me da nulo pero para a<r<b porque entre a y b la carga sería igual a esto: La integral entre a y b de lo que es igual a -q y daria una q neta de cero.
Esto es porque, creo yo gaussiana que contiene a la esfera de radio r entre a y b tiene su radio entre a y b y cuando r<a pues los limites de integración serían entre r y a y para r>b sería entre b y r los limites.
O me equivoco?

[skynet]

Re: Campo electrico en cascarón

Pues me surgió una duda. El campo me da nulo pero para a<r<b porque entre a y b la carga sería igual a esto: La integral entre a y b de lo que es igual a -q y daria una q neta de cero.

no, en el interior la densidad de carga es cero, solo tienes la carga que está en el centro, no hay que integrar nada

Esto es porque, creo yo gaussiana que contiene a la esfera de radio r entre a y b tiene su radio entre a y b y cuando r<a pues los limites de integración serían entre r y a y para r>b sería entre b y r los limites.
O me equivoco?

la superficie gausiana es una esfera de radio r=a, en su interior la unica carga es q

[Fedor]

Re: Campo electrico en cascarón

Discúlpa pero no entiendo bien. Se supone que la densidad de carga no es uniformemente distribuida entonces tengo una dq que debo integrar para hallar su valor usando la formula que da el enunciado y que tambien es igual a dq/dv

[skynet]

Re: Campo electrico en cascarón

en el espacio vacío interior del cascaron (en el volumen esferico donde r<a) la única carga eléctrica que hay es q.

la distribucion de carga que indica el enunciado solo está en el material que forma el cascarón, no en su interior, es decir, en la zona donde a<r<b, es en este volumen donde se integra para calcular su carga electrica total (cuyo resultado es -q)

[Fedor]

Re: Campo electrico en cascarón

Ok. ahora sí entiendo. Gracias por la aclaración.