1r ciclo Carga de un cilindro metálico

[nona]

Sea un cilindro metálico, indefinido, macizo y de radio R1. Alrededor de este se sitúa una corteza metálica, cilíndrica de radio interno Ri y externo R, coaxial con el anterior y carga +2C.
si en el espacio comprendido entre ambos existe una distribución de carga dada por ρ= r² , expresada en el SI y siendo r la distancia radial al eje de los cilindros. Calcular la carga por unidad de longitud:

1-Dentro de una superficie cilíndrica coaxial de radio 12 cm;

2-En la superficie interna de la corteza (Ri);

3-En la superficie externa de la corteza (Re).

(R1= 10cm, Ri=25cm y Re=30cm).

[Richard R Richard]

coaxial con el anterior y carga +2C.
..... Calcular la carga por unidad de longitud:

Hola, el enunciado es impreciso, si la carga total del cilindro exterior es 2 Coulomb pero el cilindro tiene longitud infinita, entonces la carga por metro resulta nula, entiendo que esto no debe ser el espiritu con el que fue concebido el problema, así que lo que falta en ese enunciado es decir que esa carga es la que hay por unidad de longitud, es decir +2C/m.

Con ello se puede aplicar el teorema de Gauss y calcular la carga encerrada en una superficie del radio especificado en cada uno el lo apartados

Veamos en 1)

$\cancel{(Q/l)_1=\dst\int\limits_{R_1}^{12}\rho dr=\int\limits_{10}^{12}r^2 dr=\left.\dfrac13r^3\right\vert_{10}^{12}=\dfrac{1}{3}\left(12^3-10^3\right)=\dfrac{728}{3}C/m}$

en 2)

$\cancel{(Q/l)_2=\dst\int\limits_{R_1}^{R_i}\rho dr=\int\limits_{10}^{25}r^2 dr=\left.\dfrac13r^3\right\vert_{10}^{25}=\dfrac{1}{3}\left(25^3-10^3\right)=4875C/m}$

en 3 ) como el material de la capa externa es conductor las cargas están sobre la superficie, no es necesario integrar sino saber que la carga total es igual a las uma de las cargas.

$(Q/l)_3=(Q/l)_2+2C/m=\cancel{4877C/m}$

Saludos

JCB en el siguiente mensaje tiene razón, no lo pensé con claridad. aparte de despistarme con las unidades-

[JCB]

Hola a tod@s.

Para determinar la carga eléctrica dentro del espacio coaxial entre el cilindro y el cilindro hueco, no hace falta aplicar la ley de Gauss (en todo caso, sí que se podría aplicar dicha ley para determinar el campo eléctrico). Interpreto que la densidad de carga $\rho$ es volumétrica. De esta manera y considerando un cilindro hueco de radio $r$, espesor $dr$ y altura $h=1\ m$, la carga contenida en él, es

$dq=\rho dV$, siendo $dV=2\pi rdr\cdot 1=2\pi rdr$. Sustituyendo,

$dq=2\pi r^3dr$

$Q\ (r=0,12\ m)=\displaystyle\int_{R_1=0,1}^{r=0,12}2\pi r^3dr=2\pi\dfrac{r^4}{4}\Big]_{0,1}^{0,12}=1,69\cdot 10^{-4}\ C/m$

$Q\ (r=R_i=0,25\ m)=\displaystyle\int_{R_1=0,1}^{R_i=0,25}2\pi r^3dr=2\pi\dfrac{r^4}{4}\Big]_{0,1}^{0,25}=5,98\cdot 10^{-3}\ C/m$

En cuanto a que la carga del cilindro hueco no debe estar bien descrita en el enunciado, sí que coincido.

Saludos cordiales,
JCB.