1r ciclo Campo eléctrico creado por una esfera cargada con orificio cilíndrico

[nona]

En una esfera de radio R, no conductora cargada uniformemente con densidad de carga ρ se realiza un agujero cilíndrico de radio r = 10^-2 R tal y como muestra la figura. Calcular el campo eléctrico en el punto P aplicando el principio de superposición. (Aproxime el agujero a una línea dado que r << R)

[JCB]

Hola a tod@s.

Como ya te indica el enunciado, puedes calcular el campo eléctrico generado por la esfera no conductora, cargada con una densidad volumétrica $\rho$, y sumarle (vectorialmente) el campo eléctrico generado por una varilla de longitud $L=2R$ (sí, ya sé que es una aproximación), cargada con una densidad volumétrica $-\rho$ (omito el desarrollo para la obtención de este último campo, $\vec{E_v}\ (P))$.

1) Esfera.

$q_e=\rho V_e=\rho\dfrac{4}{3}\pi R^3$

$\vec{E_e}\ (P)=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{q_e}{x^2}\hat\imath=\dfrac{\rho R^3}{3\epsilon_0 x^2}\hat\imath$

2) Varilla.

$q_v=-\rho V_v=-\rho\pi r^2 2R$

$\vec{E_v}\ (P)=\dfrac{q_v}{4\pi\epsilon_0 x\sqrt{\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+x^2}}\hat\imath=\dfrac{-\rho r^2R}{2\epsilon_0x\sqrt{R^2+x^2}}\hat\imath$

$\vec{E}\ (P)=\dfrac{\rho R^3}{\epsilon_0 x^2}\hat\imath-\dfrac{\rho r^2R}{2\epsilon_0x\sqrt{R^2+x^2}}\hat\imath$

Saludos cordiales,
JCB.

[Curro250]

Pero el dato de la densidad volumétrica no te lo da el enunciado , el -p. ¿como ha llegado a esa conclusión?

[JCB]

Pero el dato de la densidad volumétrica no te lo da el enunciado , el -p. ¿como ha llegado a esa conclusión?

Hola a tod@s.

Apliqué el principio de superposición: el campo eléctrico de la esfera no conductora cargada con una densidad volumétrica $\rho$, y con agujero (sin carga), es igual al campo eléctrico de la esfera cargada con una densidad volumétrica $\rho$, sin agujero, más el volumen del agujero cargado con una densidad volumétrica $-\rho$. Fíjate que en la configuración equivalente, en el volumen del agujero, la densidad volumétrica, resulta $\rho-\rho=0$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Curro250]

Muchas gracias.