Resistencia de carga para obtención de máxima potencia en el circuito

[nona]

En el circuito de la figura se desea determinar la resistencia Re que debemos conectar entre los bornes A y B para obtener la máxima potencia en Re.
R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 2Ω, R4 = 3Ω, R5 = 2Ω,
V1 = 15V y V2 = 10V

[Alriga]

Recordar que el teorema de máxima transferencia de potencia establece que, dada una fuente con una resistencia de fuente en serie, la resistencia de carga $R_e$ que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor óhmico igual a la resistencia de fuente.

Por lo tanto en este ejercicio, la resistencia de carga que consumirá potencia máxima será aquella que coincida en valor con la Resistencia Equivalente de Thevenin vista desde los terminales AB

Debido a que las resistencias de R1 a R5 están formando lo que se llama un “circuito puente”, para hallar la resistencia equivalente de Thevenin $R_{th}$ no podemos usar sencillas combinaciones de asociaciones series y paralelos.

Para calcular $R_e$

1. Primero cortocircuitamos las fuentes de tensión $V_1$ y $V_2$ según el procedimiento habitual
2. A continuación, conectamos una fuente ficticia de voltaje $E=1 \ V$ entre A y B
3. Calculamos la corriente $I$ que suministra esa fuente
4. Finalmente, la Resistencia de Thevenin que buscamos será el cociente $R_{th}=E/I=1/I$

A) Para calcular la corriente $I$ usamos el Método de los Nudos (basado en la 1ª ley de Kirchhoff) a los nudos C y D con los sentidos arbitrarios de corrientes asignados en este esquema y tomando como referencia de potencial el punto B ($U_B=0$)

$$\dfrac{1-U_C}2=\dfrac{U_C-U_D}2+\dfrac{U_C}4$$

$$\dfrac{1-U_D}3+\dfrac{U_C-U_D}2=\dfrac{U_D}2$$

Resolvemos el sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y obtenemos:

$U_C=\dfrac{10}{17} \ V$

$U_D=\dfrac{8}{17} \ V$

Calculamos las corrientes:

$I_1=\dfrac{1-10/17}2=\dfrac 7{34} \ A$

$I_4=\dfrac{1-8/17}3=\dfrac 3{17} \ A$

Aplicando la 1ª ley de Kirchhoff:

$I=I_1+I_4$

$I=\dfrac{13}{34} \ A$

$R_{th}=\dfrac E I=\dfrac 1 I$

$R_{th}=\dfrac{34}{13} \ \Omega$

Por lo tanto, la Resistencia de carga que disipará máxima potencia es $R_e=R_{th}$

$$R_e=\dfrac{34}{13} \ \Omega$$

Comprobación:

$I_2=\dfrac{10/17}4=\dfrac 5{34} \ A$

$I_5=\dfrac{8/17}2=\dfrac 4{17} \ A$

$I=I_2+I_5=\dfrac{13}{34} \ A$

Vemos que hemos obtenido el mismo resultado para $I$ que antes.

B) Si en vez del método de los nudos, que da 2 ecuaciones, se prefiere usar el Método de la Mallas, que da 3 ecuaciones:

• Llamamos $i$ a la corriente en el sentido de las agujas del reloj que circula por la malla de la izquierda E, R1, R2
• Llamamos $i_a$ a la corriente en el sentido de las agujas del reloj que circula por la malla superior R4, R3, R1
• Llamamos $i_b$ a la corriente en el sentido de las agujas del reloj que circula por la malla inferior R5, R2, R3

Las 3 ecuaciones de malla son:

$$1=2(i-i_a)+4(i-i_b)$$

$$0=3i_a+2(i_a-i_b)+2(i_a-i)$$

$$0=2i_b+4(i_b-i)+2(i_b-i_a)$$

De la resolución del sistema se obtiene:

$i=\dfrac{13}{34} \ A \qquad i_a=\dfrac{3}{17} \ A \qquad i_b=\dfrac{4}{17} \ A$

Naturalmente, $I=i=\dfrac{13}{34} \ A$

$R_e=R_{th}=\dfrac E I=\dfrac 1 I = \dfrac{34}{13} \ \Omega$

Saludos.