1r ciclo Campo eléctrico

[The Higgs Particle]

a) Calcular el campo eléctrico en un punto a la derecha de $O$ originado por medio anillo de carga total $Q$, radio $R$ y altura $h$.
Indicación: el cilindro como una colección de cargas anulares.

No entiendo por qué me dice lo del cilindro si es tan sólo medio anillo el que hace el campo en este ejercicio (es decir, no todas las componentes se anulan, de forma que no se puede simplificar diciendo $E_{total} =E_x =E \cos(\alpha)$). Aun si no me dicen lo del cilindro, no sabría cómo hacerlo si el medio anillo está dispuesto como en la figura (perpendicular al eje X) porque el campo varía desde el punto $d$ hasta un punto que se mete hacia dentro, en el plano por lo que sería el plano $XY$.

[Al2000]

Re: Campo eléctrico

Si lo transcribiste tal cual está en el libro, yo diría que se trata de un error de edición. Mas bien diviértete calculando el campo producido por el cilindro en el punto señalado en el eje a la distancia d del extremo derecho.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Campo eléctrico

Suponiendo que el cilindro es compacto y está cargado uniformemente, se me ocurren dos formas para calcular el campo eléctrico en el punto $d$. De la segunda sé que hay algo mal, probablemente todo, pero tampoco sabría decir el qué.

1. Sabiendo que el campo eléctrico creado por un disco uniformemente cargado - que no un anillo - es $E_x =-2 \pi K x \sigma \dst \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+b^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2} } \right)$, hacer, situando el origen de coordenadas en el extremo izquierdo el cilindro:

$E_{total} = \dst \int_0^{h} -2 \pi K x \sigma \dst \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+b^2}} - \frac{1}{\sqrt{x^2} } \right) \dd x$

2. Teorema de Gauss. Cojo una superficie gaussiana cilíndrica de área lateral $S_2$ y de área de las tapas $S_1$ de forma que el área lateral y el de las tapaderas estén a la misma distancia del cilindro cargado ($E_1=E_2$), de forma que:

$\Phi = \dst 2 \oint E \dd S_1 + \oint E \dd S_2 = \dst \frac{Q_{int}}{\epsilon_0 } \to E (2 S_1 +S_2) = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0 }$ (1)

Como $Q = \rho V = \rho (\pi R^2 h)$:

$E = \dst \frac{\rho Sh}{(2S_1+S_2) \epsilon_0} = \frac{\rho }{\epsilon_0} \cdot \frac{\pi R^2 h}{2 \pi r^2 + 2 \pi r x } = \frac{\rho}{2 \epsilon_0 }$ $\cdot \dst \frac{R^2h}{ r^2+rx}$ (2)

De forma que en un punto $d$ de la forma $d(x,0)$ [donde $x > h$] el campo sería:

$E = \dst \frac{\rho}{2 \epsilon_0 } \times \frac{R^2h }{0}$

Una forma que se me ocurre de intentar subsanar esto es con el hecho de que todas las superficies de la gaussiana se encuentran a la misma distancia del cilindro cargado, de forma que:

$x- h = r -R \to r = x-h +R$

Sustituyendo en (2):

$E = \dst \frac{\rho}{2 \epsilon_0 } \cdot \frac{R^2h}{\left( x-h+R\right)\left( 2x-h+R \right) }$

[Al2000]

Re: Campo eléctrico

1. Si tu origen de coordenadas es el extremo izquierdo del cilindro, entonces un disco en la posición $x$ se encuentra a la distancia $h+d-x$ del punto en donde calculas el campo.

2. El teorema de Gauss es inútil en este caso, pues el campo no es uniforme en ninguna dirección y no será constante en ninguna parte de tu superficie gaussiana.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Campo eléctrico

Gracias, Al. Tres preguntas:
1. Lo que dices de la distancia $d+h-x$ no tengo claro dónde incorporarlo. Porque los límites de integración para calcular el campo eléctrico creado por el cilindro cargado deben ir desde el principio del cilindro hasta el final del mismo, ¿no?
2. ¿Cómo sabes que el campo no es uniforme?
3. Suponiendo que lo fuera, ¿estaría haciendo bien al tener el cuenta el flujo en las superficies laterales del cilindro? ¿E importaría si el cilindro gaussiano que cojo no tiene la misma longitud $h$ que el cargado?

[Al2000]

Re: Campo eléctrico

...
1. Lo que dices de la distancia $d+h-x$ no tengo claro dónde incorporarlo. Porque los límites de integración para calcular el campo eléctrico creado por el cilindro cargado deben ir desde el principio del cilindro hasta el final del mismo, ¿no?
...

En donde aparece $x$ en la fórmula del campo del disco. Los límites son correctos, pero la distancia de cada disco al punto donde calculas el campo no es $x$ sino $h+d-x$.

...
2. ¿Cómo sabes que el campo no es uniforme?
...

En realizad lo difícil es conseguir un campo uniforme. Con la excepción de la distribución de carga con simetría esférica, en todos los demás casos se debe recurrir a la idealización de que el cuerpo tiene una extensión infinita para obviar los efectos de borde. Hace un tiempito le respondí algo similar a otro compañero... échale una mirada al hilo Ley de Gauss.

...
3. Suponiendo que lo fuera, ¿estaría haciendo bien al tener el cuenta el flujo en las superficies laterales del cilindro? ¿E importaría si el cilindro gaussiano que cojo no tiene la misma longitud $h$ que el cargado?

Suponiendo una vaca esférica... dice el chiste. ¡Ay!, si las vacas volaran...

Saludos,

$\mathcal A \ell$