1r ciclo Constante eléctrica , magnetica y el numero PI

[Zorak]

Hola, hace poco estaba realizando unos trabajos de la universidad, por lo que tuve que ponerme a repasar algo de electromagnetismo, y me surgió esta duda.¿Por que en la constante eléctrica $Ke=\frac{1}{ \varepsilon 4\pi}$ y la contante magnética $Km=\frac{\mu}{4 \pi }$ esta presente el $4\pi$,y que significado físico tiene, si es que tiene alguno, o es puramente un resultado matemático?

[Richard R Richard]

Re: Constante eléctrica , magnetica y el numero PI

Creo que viene de aplicar el laplaciano en el calculo del potencial ,

no tengo el tema lo suficientemente claro para ahondarlo, solo te puedo dar referencias de donde conseguir respuestas a


$\nabla^2 \phi = - 4 \pi \rho$


https://es.wikipedia.org/wiki/Sim%C3%A9on_Denis_Poisson

http://forum.lawebdefisica.com/threa...del-Laplaciano

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...c/laplace.html

creo que viene de la defincion geometrica del area de la esfera $4\pi R^2$

http://physics.stackexchange.com/que...orce-equations

[Mossy]

Re: Constante eléctrica , magnetica y el numero PI

Hola,

El teorema de Helmholtz establece que se puede conocer cualquier campo vectorial a partir de su divergencia y su rotacional. No voy a entrar en detalles pero para el caso del campo eléctrico del propio teorema se saca que el potencial se puede calcular como $\displaystyle \phi = \frac{1}{4 \pi} \int \frac{\nabla \cdot \vec{E} }{R} dV$. Por la ley de Gauss tenemos que $\displaystyle \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon _0}$, por lo que nos queda $\displaystyle \phi = \frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \int \frac{\rho}{R} dV$. Después el campo se calcula como el gradiente de este potencial y se puede obtener la ley de Coulomb. De ahí sale el $4\pi$ en la constante eléctrica

Saludos

[Samir M.]

Re: Constante eléctrica , magnetica y el numero PI

Esencialmente, el factor $n\pi$ se deriva de la geometría del problema tratado en cuestión debido a la simetría rotacional del mismo ($S^n$, para $n = 2$ se tiene un factor $2\pi$ (circunferencia), para $n = 3$ se tiene un factor $4 \pi$ (esfera, piensa en estereorradianes), etc). Matemáticamente, se desprende de las funciones de Green, cuyo núcleo de la transformación sirve para resolver muchas ecuaciones diferenciales. Estas funciones, para EDP's parciales del tipo $\nabla \cdot \Phi = f(r,c)$ y $\nabla \times F = 0$, suelen tener la forma general $G(r) = \dfrac{1}{S_{n-1}} g(r,c)$, donde $S_{n-1}$ es la superficie de la $n$-esfera. Puesto que la superficie de una esfera es proporcional a $\pi$, se desprende que las leyes de la física (soluciones de esas edp's o edo's) también heredarán ese factor. Es bonito este tema pero para abordarlo en detalle habría que precisar mucho más. Quizá en las lecciones de Feynman venga algo al respecto.

Saludos.