1r ciclo Forma matricial Kirchhoff

[CARLIN]

Hola, he intentado hacer este ejercicio, este es el enunciado:

Plantear las ecuaciones de resolución de este circuito a través de las leyes de Kirchhoff. Me lío mucho con la forma matricial:

Malla 1

I . R1 + I2 . R3 - V1= 0 En esta malla hice I . R1 porque la intensidad no se ha dividido antes de llegar al nodo.

Malla 2

I1 . R2 - I2 . R3 + V2 =0 I= I1+I2


Lo encontré resuelto, y plantean la siguiente ecuación antes de plantear la matriz: i1-i2-i3 =0 ¿cómo se hace la forma matricial? me podrían explicar paso a paso. Gracias

[Richard R Richard]

Re: Forma matricial Kirchhoff

Malla 1

I . R1 + I2 . R3 - V1= 0

no esta bien deberia ser

$I1 . R1 + I3 . R3 - V1= 0$

Malla 2

I1 . R2 - I2 . R3 + V2 =0 I= I1+I2

tampoco esta bien

$I2 . R2 - I3 . R3 + V2 =0$

y en el nodo



$I1= I2+I3$

¿cómo se hace la forma matricial? me podrían explicar paso a paso. Gracias

resolver en forma matricial es armar el sistema de ecuaciones y exponerlo como matriz y resolverlo por algún método como gauss-jordan

$\begin{pmatrix}<br /> +I1R1 & 0&+I3R3&=V1 \\<br /> +0 &+I2R2&-I3R3&=-V2 \\<br /> +1I1 &-1I2 &-1I3&=0<br /> \end{pmatrix}<br />$

que es lo mismo que

$\begin{pmatrix}<br /> R1 & 0&R3 \\<br /> 0 &R2&-R3 \\<br /> 1 &-1 &-1<br /> \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}<br /> I1 \\<br /> I2\\<br /> I3<br /> \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}<br /> V1 \\<br /> -V2 \\<br /> 0<br /> \end{pmatrix}$

Pero creo que tienes que saber bien lo que es una malla y un nodo de un circuito, pues estas planteando mal las ecuaciones de las leyes de kirchoff

[CARLIN]

Re: Forma matricial Kirchhoff

Hola Richard, en la tercera fila de la matriz, ¿qué operación haces para que te quede +I1 -I2 -I3? Gracias!

[Richard R Richard]

Re: Forma matricial Kirchhoff

Aplico la ley de nodos (al nodo superior) la sumatoria de todas corrientes entrantes al nodo (I1)es igual a la sumatoria de todas las corrientes salientes(I2 e I3), es decir , a la conservación de la carga entre las ramas del circuito.

si tienes que entra I1 y salen I2 e I3 entonces $I1=I2+I3$ que lo puedes escribir pasando términos de la ecuación hacia la izquierda como $I1-I2-I3=0$ que es la tercer ecuación del sistema de ecuaciones y la tercera fila de la matriz.


Recuerda tu puedes elegir cual es el sentido de cada corriente en cada rama, si luego de hacer calculos esta te da valores negativos, significa que el sentido de circualción de las cargas (corriente) que le escogiste es el inverso al que sucede en la realidad.


Saludos

[Breogan]

Re: Forma matricial Kirchhoff

Hola:

La construcción de la matriz del método de mallas de Kirchoff nace de las ecuaciones correspondientes, como bien te han dicho, pero se independiza de ellas para constituir en un método nemotecnico de construcción mucho mas sencillo y de rápida aplicación y resolución por métodos tradicionales o computacionales.

Primero debes saber que la matriz surgida de este método siempre es cuadrada, simétrica, y su orden es igual al numero de mallas que hay en el circuito.

Para este caso es de orden 2, y el sistema queda:

$\dst \begin{pmatrix}Z_{1,1} & Z_{1,2} \\ Z_{2,1} & Z_{2,2}\end{pmatrix} \ . \ \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} U_1 \\ U_2 \end{pmatrix}$

Los elementos $Z_{i,j}$ corresponden a las impedancias presentes en el circuito leídas de la siguiente forma:

$\dst Z_{i,j} \ | \ i=j \quad es \ la \ impedancia \ de \ la \ malla \ i$

$\dst Z_{i,j} \ | \ i \neq j \quad es \ la \ impedancia \ compartida \ por \ las \ mallas \ i \ y \ j \ cambiada \ de \ signo$

En este caso quedara:

$\dst Z_{1,1}=R_1+R_3 \ ; \ Z_{2,2}=R_2+R_3 \ ; \ Z_{1,2}=-R_3 \ ; \ Z_{2,1}=-R_3$

Los elementos de la matriz de las corrientes $(I_i)$ son cada una de las corrientes de nuestras mallas.

Y los elementos de la matriz $(U_i)$ son las fuentes que se encuentran en cada una de las mallas, tene en cuenta que cuando circulas por la malla en el sentido de la corriente de malla se le asigna por convención un signo + o - a la fuente dependiendo si al circular por ellas baja la tensión o sube respectivamente, para este método tenes que cambiarle dicho signo. De tal forma en este ejemplo queda

$\dst U_1 = V_1 \quad y \quad U_2 = - V_2$

y el sistema quedara:

$\dst \begin{pmatrix}R_1+R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2+R_3\end{pmatrix} \ . \ \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \end{pmatrix} \ = \ \begin{pmatrix} V_1 \\ -V_2 \end{pmatrix}$

La practica hace al maestro, así que ponete a practicar haciendo 1º la forma matricial y luego planteando las ecuaciones de mallas y verificar que llegas al mismo resultado simbólico (ya que en definitiva son lo mismo)
s.e.u.o.

Suerte