1r ciclo Dos esferas cargadas

[Marcos Castillo]

Hola, he resuelto un ejercicio del apartado "Aplicaciones de la ley de Gauss en situaciones de simetría esférica" de mi libro de texto, que es el Tipler-Mosca. Lo he intentado resolver por mi cuenta, y ahora con vosotros a ver si estoy en lo cierto. Voy a escribir el enunciado, y según surjan las preguntas, iré respondiendo:

Consideremos dos esferas conductoras concéntricas. La esfera exterior es hueca y en ella se ha depositado una carga -7Q. La esfera interior es sólida y en ella hay una carga +2Q.

(a)¿Cómo está distribuida la carga en la esfera exterior? Es decir, ¿cuánta carga hay en la superficie exterior y cuánta en la superficie interior?: -5Q en la superficie exterior, y -2Q en la interior.

(b)Supongamos que se conecta un alambre entre ambas esferas. Una vez alcanzado el equilibrio electrostático, ¿cuánta carga total existe en la esfera exterior?:-5Q;¿cuánta carga hay ahora en la superficie exterior de esta esfera y cuánta carga en su superficie interna?: la misma en ambas: -2.5Q; ¿cambia el campo eléctrico de la superficie de la esfera interna al conectar el cable?. Si es así, ¿cómo cambia?: cambia de +2Q a -2.5Q

(c)Supongamos que volvemos a las condiciones iniciales de (a) con +2Q en la esfera interior y -7Q en la exterior. Conectamos ahora la esfera interior a tierra con un cable y luego lo desconectamos. ¿Cuánta carga total existirá en la esfera sólida?: 0Q. ¿Cuánta carga tendremos en la superficie interna de la de la esfera exterior y cuánta en la superficie externa?: 0Q en la interior, y -7Q en la exterior.

El único argumento que empleo es que en el interior de las esferas, el campo debe ser nulo.

[Al2000]

Re: Dos esferas cargadas

(a)

(b) Carga: total = -5Q, externa = -5Q, interna = 0. El campo en la superficie de la esfera interna se hace nulo.

(c) No es cero. Calcula la carga partiendo de que el potencial de la esfera interior es nulo y la carga del cascarón es la misma inicial. Tengo la impresión de que la respuesta queda en función de los radios de las dos esferas, pero ahora mismo no lo puedo chequear.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Dos esferas cargadas

(c)Supongamos que volvemos a las condiciones iniciales de (a) con +2Q en la esfera interior y -7Q en la exterior. Conectamos ahora la esfera interior a tierra con un cable y luego lo desconectamos. ¿Cuánta carga total existirá en la esfera sólida?: 0Q. ¿Cuánta carga tendremos en la superficie interna de la de la esfera exterior y cuánta en la superficie externa?: 0Q en la interior, y -7Q en la exterior.

El único argumento que empleo es que en el interior de las esferas, el campo debe ser nulo.

(c) No es cero. Calcula la carga partiendo de que el potencial de la esfera interior es nulo y la carga del cascarón es la misma inicial. Tengo la impresión de que la respuesta queda en función de los radios de las dos esferas, pero ahora mismo no lo puedo chequear.

Disculpa Al2000, tu sabes que el electromagnetismo no es mi fuerte, por eso pregunto....

se me hace que al conectar a tierra la esfera interior, cargas positivas apareceran sobre la superficie de la esfera interior para que el campo exterior se haga nulo y el campo en el interior no lo será, es decir la carga de la esfera interior sera +7Q
la de la exterior -7Q distribuida solo en la superficie interior... La carga total sera nula. El campo entre ambas esferas se calcula aplicando gauss y queda en funcion del radio.Es Así?

Si no es así perdón por la intromisión....

[Al2000]

Re: Dos esferas cargadas

No hay nada que disculpar, estamos para mejorar nuestros conocimientos. Trato de explicar el último caso.

Digamos, en forma general, que tienes una esfera conductora conectada a tierra y rodeada por un cascarón conductor aislado. Tierra se comporta como un gran océano de carga del cual podemos sacar o meter tanta carga como queramos sin que varíe apreciablemente su nivel; arbitrariamente asignamos el valor cero a ese nivel (potencial).

Conectar la esfera interna a tierra significa en este caso que estamos fijando a cero su potencial. Pero el cascarón que rodea a la esfera también produce su propio potencial que afecta a la esfera en su interior.

Recordemos que el potencial interior de una esfera conductora de radio $R$ cargada con carga $Q$ es constante y vale

$$V_\text {interior} = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac Q R$$

Volvamos al problema. Al conectar la esfera interior a tierra, fluirá carga a/desde la esfera desde/a tierra hasta que los potenciales se igualen, es decir, hasta que el potencial de la esfera sea cero. La carga en el cascarón se polarizará apropiadamente hasta que el campo en el cuerpo del cascarón sea cero. Llamando $a,\,b,\, c$ los radios de la esfera y del cascarón (progresando de adentro hacia afuera), $Q_a$ la carga que finalmente adquiere la esfera y $Q$ la carga del cascarón (fija por estar aislado), el potencial de la esfera interior será, por superposición:

$$V_a = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0}\left(\frac {Q_a} a - \frac {Q_a} b + \frac {Q + Q_a} c\right) = 0$$

de donde se obtiene fácilmente que la carga final de la esfera interna será

$$\boxed {Q_a = - Q \frac {\frac 1 c} {\frac 1 a - \frac 1 b + \frac 1 c}}$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Marcos Castillo]

Re: Dos esferas cargadas

¡Muchas gracias!. La formulación no me la conocía.