1r ciclo Esfera con carga no centrada

[daljor]

Buenos días:

Tengo una duda (más bien no sé cómo empezar) en un ejercicio de electromagnetismo. Transcribo el enunciado del mismo:

"Una esfera metálica (es decir, conductora) de radio a tiene en su interior un hueco esférico, de radio b, cuyo centro se encuentra a una distancia d del centro de la esfera metálica (d+b<a). En el interior del hueco se sitúa una carga puntual q, a una distancia c del centro del hueco. La esfera metálica se encuentra aislada y descargada."

El primer apartado pide calcular el campo eléctrico en el exterior de la esfera metálica.

Mi primera duda es si estoy interpretando el enunciado bien: cuando dice que la esfera metálica se encuentra aislada y descargada quiere decir que nuestro sistema sólo está formado sólo por los elementos del enunciado y que la esfera metálica tiene carga total nula, ¿no?

Suponiendo que eso sea así, entonces colocamos una carga q en el hueco esférico, que tampoco está centrada en el centro del hueco. De esta manera, razono: esta carga q atraerá carga negativa de la esfera metálica de tal manera que el sistema carga - superficie del hueco tenga carga total nula. Sin embargo, para que esto suceda la carga superficial en dicha superficie no estará distribuida uniformemente debido a que la carga puntual no está en el centro del hueco. Por otra parte, creo que la superficie externa de la esfera metálica se quedará con una carga total q en su superficie, pero, como antes, sin distribución homogénea.

Por lo que mi pregunta es: ¿puedo utilizar la ley de Gauss para calcular el campo en el exterior de la esfera metálica? Es decir, ¿puedo suponer que el sistema es equivalente al de una carga q situada en el centro de dicha esfera a pesar de que las cargas en su interior no estén centradas?

El caso es que creo que no se puede, pero tampoco sé seguir por el resto de alternativas que tengo: en el tema que corresponde a este ejercicio hemos dado el método de las imágenes y el método de separación de variables. Si no se pudiera utilizar la ley de Gauss me decantaría por este último, aunque tampoco sabría cómo empezar. La fórmula para el potencial deducida en clase por separación de variables en coordenadas esféricas es:

$<br /> <br /> \Phi = \sum_{n = 0}^\infty ({A}_{n }{r}^{n }+{B}_{n }\frac{1}{{r}^{n+1 }}){P}_{n }(\cos(\theta)) <br /> <br />$

donde A_n y B_n son coeficientes a determinar y P_n son los polinomios asociados de Legendre. Además, la ecuación fue deducida suponiendo simetría de revolución.

¿Alguien me puede echar un cable?

Gracias por vuestro tiempo.

[angel relativamente]

Re: Esfera con carga no centrada

Hola daljor.
Por supuesto que puedes utilizar la ley de Gauss para los puntos exteriores. Para que el teorema de Gauss sea útil lo único que necesitas es una superficie gaussiana con buena simetría (en este caso esférica), pero no dice nada acerca de cómo se han de distribuir las cargas interiores.

Saludos,

[daljor]

Re: Esfera con carga no centrada

Hola daljor.
Por supuesto que puedes utilizar la ley de Gauss para los puntos exteriores. Para que el teorema de Gauss sea útil lo único que necesitas es una superficie gaussiana con buena simetría (en este caso esférica), pero no dice nada acerca de cómo se han de distribuir las cargas interiores.

Saludos,

Gracias por tu respuesta. Sí, la ley de Gauss se puede utilizar siempre pero lo que no sé es si en este caso me puede ayudar para obtener el campo. Partiendo de que mi razonamiento sea correcto y que la carga en la superficie exterior de la esfera metálica no sea homogénea (es decir, que haya más acumulación de carga en una parte de la superficie), si centro la superficie esférica gaussiana en el centro de la esfera metálica no podré sacar el campo E de la integral de la ley de gauss, ya que este no tendrá el mismo valor siempre para cada punto de dicha superficie.

¿Estoy en lo cierto?

Por otra parte: ¿podría centrar la esfera gaussiana en algún punto de tal manera que E siempre tenga el mismo valor para cada punto de la superficie gaussiana?

[angel relativamente]

Re: Esfera con carga no centrada

Hola,
Toda la razón, si coges como superficie gaussiana la esfera no se va a verificar la perpendicularidad del campo que crea la carga. Lo que se suele hacer en caso de agujero no centrado es aprovechar que el agujero tiene también simetría esférica para utilizar el teorema de Gauss a partir del principio de superposición del campo eléctrico. No tengo mucho tiempo para pensar el problema, a ver si con eso se llega a algo.

[Al2000]

Re: Esfera con carga no centrada

...
Por otra parte, creo que la superficie externa de la esfera metálica se quedará con una carga total q en su superficie, pero, como antes, sin distribución homogénea.
...

Aquí estás equivocado, la distribución de cargas en el exterior es uniforme. Ya que el cuerpo (conductor) de la esfera aisla el exterior de la carga en el interior (el efecto de la jaula de Faraday), la esfera "no sabe" que tiene un hueco con una carga en el interior y no es posible distinguir si la esfera es sólida o hueca, etc.



En la figura el hueco está centrado, pero eso es irrelevante, sería igual si no lo estuviera.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[daljor]

Re: Esfera con carga no centrada

Muchas gracias Al! Aunque me surge una pequeña duda:

En la figura el hueco está centrado, pero eso es irrelevante, sería igual si no lo estuviera.

¿La cara interior tendría también una densidad superficial de carga uniforme?

[Al2000]

Re: Esfera con carga no centrada

En absoluto, no hay ninguna razón para asumir eso. La posición del hueco (centrado o descentrado) no influye pero la posición de la carga puntual en el hueco si influye, como se pretende representar en el dibujo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$