Otras carreras Hallar resistencia y reactancia en un circuito trifásico

[danielandresbru]

Hola estaba tratando de resolver el siguiente problema. El enunciado es el siguiente:

"En la figura ABC es una red eléctrica equilibrada de 400 V y secuencia directa. Hállense la resistencia R y la reactancia X para que los valores eficacez de las tenione V1 y V2 sean V1=240 V y V2= 300 V "

Lo que se me ha ocurrido es plantear con los datos que me dan el circuito que anexé, y con el plantear mallas sabiendo que como es trifásico equilibrado de secuencia directa
$\mathcal{V}_a= \displaystyle \frac {400}{\sqrt 3} \angle 0 ^{\circ} \ V$
$\mathcal{V}_b= \displaystyle \frac {400}{\sqrt 3} \angle -120 ^{\circ} \ V$
$\mathcal{V}_c= \displaystyle \frac {400}{\sqrt 3} \angle 120 ^{\circ} \ V$

Y de allí calcular $\mathcal{V}_1$ y $\mathcal{V}_2$ dejandolos en función de R y X, pero el ejercicio se complica bastante y ademas de $\mathcal{V}_1$ y $\mathcal{V}_2$ sólo sé los modulos (no las fases), así que me parece que este problema se debe resolver de otra forma mucho mas facil pero no se me ocurre como. Agradecería mucho si supieseis como resolver este problema

- - - Actualizado - - -

me acabo de dar cuenta que al poner los datos en la imagen me equivoque y puse 220, pero es 400, disculpadme el error.

- - - Actualizado - - -

No se si el enunciado esté mal, porque mi mayor dificultad es que no me dan los fiadores que caen en en las Resistencia, solo me dan los módulos

[Alriga]

Este es un ejercicio de trifásica "dificilillo". Si uno se pone a aplicar directamente Mallas o Kirchhoff, la complicación matemática se vuelve insoportable. La gracia está en darse cuenta de inicio que $U_{BC}=V_1+V_2$ y utilizar trigonometría básica para hallar los ángulos de los fasores $V_1$ y $V_2$. Por facilidad, elegimos el fasor $U_{BC}$ como referencia: $U_{BC}=400\angle 0$ Apliquemos el teorema del coseno al triángulo de la imagen:

$300^2=400^2+240^2-2\cdot 400\cdot 240 \cos |a_1|$

Obsérvese del dibujo que el ángulo del fasor $V_1$ ha de ser negativo, por lo tanto:

$a_1=-0.8438603=-48.3496^{\circ}$

Apliquemos ahora el teorema del seno para obtener el ángulo del fasor $V_2$

$\sin a_2=\dfrac{240}{300}\sin |a_1|$

$a_2=0.640718=36.7104^{\circ}$

Por lo tanto:

$V_1=240\angle -48.3496^{\circ}=159.5-j 179.331397 \qquad V_2=300\angle 36.7104^{\circ}=240.5+j 179.331397$

(En vez de usar el teorema del seno, también podríamos haber hallado $V_2$ haciendo la resta fasorial $V_2=U_{BC}-V_1$ )

Si hemos elegido $U_{BC}=400$ como fasor de referencia y la secuencia es directa:

$U_{AB}=400\angle 120^{\circ}=-200+j 346.410162$

$U_{CA}=400\angle -120^{\circ}$

Ahora el camino más rápido a la solución es aplicar la 1ª Ley de Kirchhoff, (método de los nudos) :

$I_A+I_B+I_C=0$

Nos queda una ecuación en complejos:

$\dfrac{U_{AB}+V_1}R+\dfrac{V_1}{20}+\left ( -\dfrac{V_2}R-\dfrac{V_2}{j X} \right )=0+j0$

Sustituimos valores, simplificamos e igualamos partes reales e imaginarias a cero, con lo que la ecuación en complejos se convierte en un sistema de 2 ecuaciones reales con 2 incógnitas reales, "R" y "X":

$-\dfrac{281}R-\dfrac{179.331397}X+7.975=0$

$-\dfrac{12.252632}R+\dfrac{240.5}X-8.966570=0$

Resolviendo el sistema se obtiene:

$$\boxed{R=225.089594 \ \Omega} \qquad \boxed{X=26.660003 \ \Omega}$$

Que es el resultado que pide el ejercicio. Para practicar con circuitos trifásicos, vamos a hallar las corrientes, aplicando el método de las mallas, (ver dibujo inferior)

$Z=\dfrac{j R X}{R+jX}=3.113973+j 26.291179$

$$U_{AB}=R i_1+20(i_1-i_2)$$

$$U_{BC}=20(i_2-i_1)+Z i_2$$

Sustituyendo valores y simplificando nos queda un sistema lineal de 2 ecuaciones complejas con 2 incógnitas, que podemos resolver, por ejemplo, mediante la Regla de Cramer. Obtenemos:

$i_1=-0.179928+j 0.742277=0.763773\angle 103.6257^{\circ}=I_A$

$i_2=7.795072-j 8.224293=11.331467\angle -46.5348^{\circ}=-I_C$

$I_B=i_2-i_1=7.975-j 8.96657 =12\angle -48.3496^{\circ}$

Comprobemos:

$20(i_2-i_1)=20 (7.975-j 8.96657)=159.5-j 179.3314=240\angle -48.3496^{\circ}=V_1 \qquad OK!$

$i_2 Z=240.5+j 179.3314=300\angle 36.7104^{\circ}=V_2 \qquad OK!$

Saludos.