1r ciclo Momento magnético de una esfera

[[Beto]]

Hola, para calcular la magnitud del momento magnético de una esfera (con radio $R$) que gira a velocidad angular $\omega$ (constante y en torno a su eje) y cargada uniformemente, lo hago de la siguiente manera:

Primero para un cascarón que esta en el interior (de radio $r<R$), se tendrá que si lo divido en espiras pequeñitas:

$$\dd\mu=A\dd i$$

Donde $A$, es el área de la espira, y viene dada por:

$$A=\pi r^2\sin^2\theta$$

Además el diferencial de corriente, como es conocida la velocidad angular con la que gira la esfera será:

$$\dd i=\frac{\omega\dd q}{2\pi}$$

Y como esta cargada uniformemente, el cascarón tendrá una densidad superficial de carga:

$$\sigma=\frac{\dd q}{\dd S}=\frac{\dd q}{2\pi r\sin \theta(r\dd\theta)}=\frac{Q}{4\pi r^2}=\frac{Q}{S}$$

Con lo que se llega a que:

$$\dd q=\frac{Qr\sin\theta\dd \theta}{2}$$

Luego juntando (2), (3) y (5) en (1) ... e integrando se tiene:

$$\mu=\frac{r^2Q\omega}{4}\int_0^\pi\sin^3\theta\dd\theta=\frac{r^2Q\omega}{3}$$

Finalmente para hallar el momento de la esfera sólida, le tomo su diferencial respecto a $r$, e integro de 0 hasta $R$, obteniendo:

$$\mu=\frac{R^2Q\omega}{3}$$

Mis dudas son las siguientes:

¿Hay algun error? ... se me hace algo raro que salga el resultado similar al de una esfera hueca ... si no hay error ¿por qué sale similar?

Y por último ¿Hay alguna forma más cortita de calcular todo? ... por ejemplo usando directamente la densidad volumétrica de carga y no la superficial como yo he hecho.

PD: Mi sistema de referencia lo ubiqué en el centro de la esfera.

Gracias.

[carroza]

Re: Momento magnético de una esfera

Hola.
No me sale tu resultado. A mi ve sale $\mu = q \omega R^2 /5$.

Si tienes una densidad homogénea de carga (volumétrica) no puedes hablar de carga superficial.

Sugiero que integres la corriente que atraviesa medio circulo de la esfera, considerando que en cada elemento de esta superficie
$dS=dz dr$

La corriente que atraviesa es
$dI=\rho v dS = \rho \omega r dS$

y la contribución al momento magnético es
$d\mu =dI \pi r^2$

Aqui r es la distancia al eje del elemento de superficie y z su altura con respecto al centro. al final integras para z entre $\pm\sqrt{R^2-r^2}$ y r entre 0 y R.

[[Beto]]

Re: Momento magnético de una esfera

Hola

Hola.
No me sale tu resultado. A mi ve sale $\mu = q \omega R^2 /5$.

Me he fijado en la respuesta que da el libro, y si da como el mio.

Si tienes una densidad homogénea de carga (volumétrica) no puedes hablar de carga superficial.

Pero si lo divido a todo el volumen de la esfera en cascarones infinitesimales de esfera, cada uno tendría una densidad de carga superficial que seria homogénea y la misma para cada uno de ellos, ¿verdad?

Sugiero que integres la corriente que atraviesa medio circulo de la esfera, considerando que en cada elemento de esta superficie

Si lo estás dividiendo en discos, me parece que este no es el diferencial de superficie que se debe de tomar, o creo que no entiendo bien ¿a qué te refieres con medio círculo?

Gracias

[carroza]

Re: Momento magnético de una esfera

Hola



Me he fijado en la respuesta que da el libro, y si da como el mio.

Bueno, pues a ver si nos convencemos de cuál está bien.

Pero si lo divido a todo el volumen de la esfera en cascarones infinitesimales de esfera, cada uno tendría una densidad de carga superficial que seria homogénea y la misma para cada uno de ellos, ¿verdad?

Una carga superficial es algo que da una carga finita cuando se integra en una superficie finita. Tus cascarones infinitesimales darian una carga infinitesimal al integrarlos en una superficie finita. Es una cuestión semántica, aunque relevante.

Si lo estás dividiendo en discos, me parece que este no es el diferencial de superficie que se debe de tomar, o creo que no entiendo bien ¿a qué te refieres con medio círculo?

Gracias

Estoy dividiendo el circulo en muchas espiras, cada una de las cuales está caracterizada por una altura z y una distancia r al eje.
El momento magnetico de una espira es el producto de la intensidad por el area de la espira. La intensidad de una espira es la carga que atraviesa la sección de la espira por unidad de tiempo.
Todas las secciones de todas las espiras pueden elegirse de forma que definan un semicirculo, cuyo lado recto es el eje de rotacion y su lado curvo está en el límite de la esfera.