2o ciclo Condición de borde en dieléctrico

[escarabajo]

Hola.

Como siempre, recurro a su ayuda. Es de moda en mi que cada problema al que me enfrento de electromagnetismo no sé para dónde agarrar.

Un dipolo puntual $\vec{p}$ se encuentra en el centro de una concavidad esférica vacia de radio R, inmersa en un material dieléctrico lineal de permeabilidad $\epsilon$. Calcule el potencial en todo el espacio.

Sugerencia: Considere solucinoes para los potenciales en la concavidad y en el dieléctrico del tipo:

$\phi(r,\theta)=A+Br^{-1}+(Cr+Dr^{-2})\cos \theta$

Lo único que saqué hasta el momento son algunas condiciones que salen de imponer:

1)Que el potencial para r muy grande es cero. (en la zona del dieléctrico)
2)Que en la superficie esférica, los potenciales de cada región son iguales.

Pero hasta ahí llego, no sé qué otras condiciones más imponer para seguir con el problema.

Agradezco alguna sugerencia.

Saludos.

[aLFRe]

Re: Condición de borde en dieléctrico

Hola.
1)Que el potencial para r muy grande es cero. (en la zona del dieléctrico)
2)Que en la superficie esférica, los potenciales de cada región son iguales.

Pero hasta ahí llego, no sé qué otras condiciones más imponer para seguir con el problema.

Hola.
Las dos condiciones que tienes que imponer son que la componente tangente
a la interfase ( dirección $\widehat{\theta}$ )
del campo eléctrico es la misma a ambos lados
y que la diferencia entre las componentes normales ( dirección $\widehat{r}$ )
de los vectores desplazamiento eléctrico a ambos lados es la densidad superficial de carga.

Saludos

[escarabajo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

Hola.

Muchas gracias por responder.

La continuidad del potencial es equivalente, creo, a la igualdad de las componente tangencial.¿cierto?

Por otra parte, la otra condición, ...la había considerado, pero, no conozco la densidad superficial de carga inducida en la superficie esférica, necesitaría conocer el vector de polarización.

¡¡Te agradezco si me alcaras eso!!

Saludos.

[aLFRe]

Re: Condición de borde en dieléctrico

Hola.
Muchas gracias por responder.

Hola y de nada.

La continuidad del potencial es equivalente, creo, a la igualdad de las componente tangencial.¿cierto?

Pues yo diría que no.
El potencial debe de ser contínuo para que describa algo que tenga sentido físico.
No es un problema puesto que, como bién sabes, el potencial está
definido salvo una constante aditiva y por eso se asigna el origen de esto a conveniencia.
La conservación de la componente tangencial del campo eléctrico
en una interfase entre dieléctricos distintos
viene dado de calcular la circulación del campo eléctrico a lo largo de un circuito
y hacer tender la longitud normal a la interfase a 0
y se debe a como se comporta un dieléctrico ( no hay campos magnéticos ).

Por otra parte, la otra condición, ...la había considerado, pero, no conozco la densidad superficial de carga inducida en la superficie esférica, necesitaría conocer el vector de polarización.

Ayer cometí un error.
La diferencia entre las componentes normales del vector desplazamiento
es la densidad superficial de carga libre. La carga total es carga libre
más ( ¿ o era menos ?) la de polarización.
Tendría que mirármelo en casa un poco... mañana si me aclaro yo mismo con esto
te cuento algo más.

Un saludo.

[escarabajo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

Hola y de nada.

Hola de nuevo, y gracias de nuevo.

Pues yo diría que no.

Mmm, quizás sea casualidad, porque, a no ser que hiciera algo mal, de imponer la condición tuya, y la de continuidad del potencial, obtengo la misma ecuación. Lo voy a revisar de nuevo.

Ayer cometí un error.
La diferencia entre las componentes normales del vector desplazamiento
es la densidad superficial de carga libre. La carga total es carga libre
más ( ¿ o era menos ?) la de polarización.
Tendría que mirármelo en casa un poco... mañana si me aclaro yo mismo con esto
te cuento algo más.

¡Qué tema! ¡La carga libre y la de polarización! ¿Cuál es cuál? Tengo un serio lío con eso, y creo que es lo que me está impidiendo resolver este problema.

¿A qué le llaman carga libre? La carga de polarización, es la que se induce a causa de polarizar el dieléctrico, si me guio por esto, entonces, respecto a la condición de las componentes normales, debíera cumplirse

$D_{2n}=D_{1n}$

Dado que sobre la superficie esférica sólo habría carga inducida digamos. No lo tengo muy claro, y como buen tramposo que soy, y dado que tengo la solución a la que tengo que llegar, intenté ver si esto se cumple con esas soluciones, y casi casi que quedan iguales, pero no.

Las soluciones del problema son:

$\phi _1(r,\theta)=\displaystyle \frac{p}{4\pi \epsilon _0}\left[\frac{2(\epsilon _0-\epsilon)}{R^3(2\epsilon+\epsilon _0)}r+\frac{1}{r^2}\right]\cos \theta$

$\phi _2(r,\theta)=\displaystyle \frac{p}{4\pi}\frac{3}{2\epsilon+\epsilon _0}\frac{1}{r^2}\cos \theta$

Considerando el dieléctrico lineal, se cumple: $D_1=\epsilon _0E_1$ y $D_2=\epsilon E_2$

Luego, las componentes normales evaluadas en la superficie esférica, quedarían:

$D_{1n}=\displaystyle \sin \theta \frac{p\epsilon _0}{4\pi R^2}\frac{3}{2\epsilon+\epsilon _0}$

$D_{2n}=\displaystyle \sin \theta \frac{p\epsilon}{4\pi R^2}\frac{3}{2\epsilon+\epsilon _0}$

Como ves, son casi iguales. La conclusión entonces sería que hay carga libre.....entonces, no me queda claro qué es la carga libre.

¡Bueno.....la cosa está brava eh! Espero no darte mucho trabajo

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

La cosa no esta tan brava como la haces parecer, y como se que eres un tramposo porque tu mismo lo has dicho.

Trata de hacer esto:

$\epsilon_o \partial_r \phi_1 = \epsilon \partial_r \phi_2$ @ r = R

En vez de:

$\epsilon_o \partial_\theta \phi_1= \epsilon \partial_\theta \phi_2$ @ r = R

[FONT=Arial Black]and stop horsing around. [/FONT]

[escarabajo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

La cosa no esta tan brava como la haces parecer, y como se que eres un tramposo porque tu mismo lo has dicho.

Trata de hacer esto:

$\epsilon_o \partial_r \phi_1 = \epsilon \partial_r \phi_2$ @ r = R

En vez de:

$\epsilon_o \partial_\theta \phi_1= \epsilon \partial_\theta \phi_2$ @ r = R

[FONT=Arial Black]and stop horsing around. [/FONT]

¡¡¡¡¡NOOOOOOOO!!!!!!!! NOOOOO!!!!!!! NO!!!!!!!!!!!!

Pero claro.....¡si la componente normal es la radial! ¡Qué bestia! ¡Además de tramposo, burro!

Uffff...bueno, por lo menos me quedo tranquilo que en algo andaba acertado.

Más tarde, intentaré hacer el problema, desde el principio, y como corresponde.

Saludos, y gracias.

[escarabajo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

Hola de nuevo.

Estuve haciendo el problema desde el principio, pero me falta algo para poder determinar todas las incógnitas.

Me faltaría meter el dato "p". Estába pensando en utilizar $\nabla D=\rho _v$

Pero no llego a nada.

Agradezco cualquier sugerencia.

Saludos.

[Jose D. Escobedo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

$\displaystyle \phi_1 (r,\theta) = ( Cr +\frac{D}{r^2})\cos \theta$ para $0< r \leq R$

$\displaystyle \phi_2 (r,\theta)= \frac{E}{r^2} \cos \theta$ para $R \leq r$

Y como el potencial adentro de la cavidad esferica esta determinado por el dipolo electrico principalmente entonces:

$\displaystyle \frac{p}{4 \pi \epsilon_o r^2} = \frac{D}{r^2}$...(1)

Tambien de acuerdo "to boundary conditions" $\Rightarrow$

$\displaystyle CR + \frac{p}{4 \pi \epsilon_o R^2} = \frac{E}{R^2}$...(2)

$\displaystyle \epsilon_o (C - \frac{2 p}{4 \pi \epsilon_o R^3}) = -\frac{2E}{R^3} \epsilon$...(3)

De (2) y (3) podras determinar la respuesta.

see yah later

[escarabajo]

Re: Condición de borde en dieléctrico

Perfecto, muchísimas gracias!!!!

Saludos.