1r ciclo Potencial Eléctrico del Cascaron.

[JONATHANL]

Se tienen dos conductores esféricos y concentricos. Uno es un cascaron de radio interno R₂=2R y radio externo R₃=3R y el otro una esfera maciza de radio R₁= R , VER FIGURA. La región entre los dos conductores esta ocupada por una sustancia aislante con densidad volumetrica de carga constante D. La Q₁ del conductor de radio R₁ es desconocida. Supongase que la diferencia de potencial entre los dos conductores es Va= V (R₂) - V(R₁).

a) Halle el campo eléctrico E(r) para R₁< |r| < Rn, exprese su resultado en función de dos cantidades conocidas y de Q₁. Halle también la carga del Q del Aislante.

b) Calcule Q_{1 : Ayuda: Recuerde que conoce la diferencia de potencial entre los conductores.}


PD: Creo que en esa Area donde esta ese aro se calcula con la formula E= K. Q/r² . donde K es ctte, pero la carga y el r? o es una integral de R2 A R1 y si es asi donde meto la densidad volumetrica de carga.? Me enredo, Como ustedes la calcularían? necesito un planteamiento para resolver. Por favor.

[Al2000]

Re: Potencial Eléctrico del Cascaron.

Para hallar el campo que produce el cascarón aislante, puedes partir de que conoces el campo de un cascarón delgado, dividir el cascarón aislante en infinitos cascarones de grosor infinitesimal y luego integrar. Deberías llegar a lo siguiente:

$$E_a = \int_{R_1}^r\!\! \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {dq}{r^2} = \int_{R_1}^r\!\! \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {4 \pi D x^2\, dx}{r^2} = \frac D {\epsilon_0 r^2} \int_{R_1}^r\!\! x^2\,dx$$

donde estoy llamando $x$ el radio de los cascarones de grosor infinitesimal.

Al campo del cascarón aislante debes sumarle el campo de la esfera, $\dst E_e = \frac 1 {4 \pi \epsilon_0} \frac {Q_1}{r^2}$ y eso responde el inciso a). La carga total del cascarón aislante la hallas mediante una integral similar a la de arriba:

$$Q = \int_{R_1}^{R_2}\!\! dq = \int_{R_1}^{R_2}\!\! 4 \pi D x^2\, dx$$

Finalmente, para responder el inciso b), determina la diferencia de potencial con el campo que ya conoces e iguala a la diferencia de potencial dato:

$$V_a = V_{(R_2)} - V_{(R_1)} = - \int_{R_1}^{R_2}\!\! \boldsymbol E \boldsymbol \cdot d \boldsymbol \ell = - \int_{R_1}^{R_2}\!\! E_{(r)} \,dr$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JONATHANL]

Re: Potencial Eléctrico del Cascaron.

eres un sol . Gracias

- - - Actualizado - - -

Ahora si me dicen que determine la carga del cascaron conductor en su "cara" interna (superficie r=R2) que haria en este caso?

[Al2000]

Re: Potencial Eléctrico del Cascaron.

Si aplicas el teorema de Gauss a una superficie completamente en el cuerpo del cascarón (entre R2 y R3), el flujo será cero por tratarse del interior de un conductor en condiciones electrostáticas. Pero si el flujo es cero, la carga total encerrada por la superficie vale cero, lo cual te lleva a concluir que la carga en la superficie interna del cascarón es de igual magnitud y signo contrario que la carga total de la esfera y el cascarón aislante.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[JONATHANL]

Re: Potencial Eléctrico del Cascaron.

Ahora bien, A continuación se conectan los dos conductores por medio de un alambre conductor y se espera a que se restablezca el equilibrio. Determine la nueva distribución de cargas en las superficies de los conductores. ¿Que haría en este caso?. Por favor.

[Al2000]

Re: Potencial Eléctrico del Cascaron.

Cuando conectes los dos conductores, la carga se va a redistribuir hasta que se igualen los potenciales. Usa la última ecuación en mi primera respuesta y pon que $V_a' = 0$. Determina la nueva carga $Q_1'$. Al igual que calculaste anteriormente, la carga en el cascarón conductor será la opuesta de $Q_1' + Q$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$