Divulgación Propagación

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- Ambiente : el vacío.
- Onda : electromagnética plana, sin polarización circular ni elíptica.
- Asunto : soluciones de la ecuación de onda

En ese tipo de onda, los campos eléctrico y magnético son puramente transversales. Entonces es un abuso decir que verifican la solución compleja. Verifican funciones seno y coseno simples.

¿ Hay en ese tipo de onda algún campo que corresponda físicamente a la solución compleja ? Es decir un campo que tenga dos componentes mutuamente perpendiculares, una senoidal y otra cosenoidal, en correspondencia con $e^{i\phi}=cos \phi+i sen \phi$ .

La propagación electromagnética en el vacío incluye la ondulación del campo eléctrico, del campo magnético, de algunos otros y del campo denominado desplazamiento eléctrico. ¿ Podría la onda del desplazamiento cumplir físicamente las condiciones de la solución compleja ?

[Julián]

Re: Propagación

En ese tipo de onda, los campos eléctrico y magnético son puramente transversales. Entonces es un abuso decir que verifican la solución compleja. Verifican funciones seno y coseno simples.

¿Por qué dices eso? Una cosa es que los campos sean perpendiculares y otra cosa diferente es la expresión matemática de cada campo, la cual en el vacio será la misma diferenciandose en la magnitud y unidad, ya que solamente lo separa una constante. $\vec{E} = c \vec{B}$

La expresión de la onda plana surge, de la ecuación de onda la cual surge de las ecuaciones de Maxwell. Toda ecuación de onda tiene la siguiente solución: $f(\vec{r} - \vec{v} t) - f(\vec{r} + \vec{v} t)$ siempre y cuando ${\nabla}^{2} f - \frac{1}{{v}^{2}} \frac{{\partial}^{2} f}{{\partial t}^{2}} =0$

¿Hay alguna restricción de que debe ser seno y coseno solamente? Yo no veo ninguna. Es más, la onda puede ser un impulso, el famoso pulso electromagnético, PEM donde $\vec{A} (r, t) = \nabla(r - c t)$ (por supuesto más que un impulso en la realidad tenemos un pulso pero usemos lo ideal)

Pero la onda plana se define como una función periódica.

Ahora, $\vec{A}$, es función del radio y no forma frentes de onda periódicos como se define la onda plana. Pero una función triangular si y cumple con la ecuación de onda electromagnética y al darse en el vacio los campos e y b son perpendiculares pero crecen hasta cierto valor y luego decrecen hasta un mínimo y viceversa.

Por lo tanto una onda plana no necesariamente debe tener una expresión senoidal o cosenoidal.

¿ Hay en ese tipo de onda algún campo que corresponda físicamente a la solución compleja ? Es decir un campo que tenga dos componentes mutuamente perpendiculares, una senoidal y otra cosenoidal, en correspondencia con .

Como los campos eléctricos y magnéticos son magnitudes vectoriales definidas en el cuerpo de los reales, es decir, son medibles, no son complejas y por lo tanto las soluciones $f(\vec{r} - \vec{v} t) - f(\vec{r} + \vec{v} t)$ son reales. Es decir, nunca la divergencia y la derivada temporal segunda sobre una función multivariable de variables vectorial definidas en los reales dará algo complejo. PORQUE el laplaciano y la derivada segunda SON OPERADORES LINEALES.

Ahora diferente es que se utilice, la serie de fourrier o la transformada de laplace, donde se obtiene una combinación lineal de funciones complejas para obtener, en dicha suma, una convergencia a una función real. Es de esta manera que se trabaja con $A{e}^{- j (\vec{k}. \vec{x} - \omega t)}$ y es más se utiliza la notación fasorial para más facilidad en la operatoria, si se trabaja ahora si con funciones senoidales y consenoidales y luego se considera la parte real o la imaginaria para obtener también en el resultado una función senoidal o cosenoidal. Total, como ambas (la exponencial compleja o la senoidal) son armónica (es decir son autofunciones de sistemas lineales), mientras no se utilicen operadores alineales, se puede operar tranquilamente.

Creo que te estás confundiendo la ecuación de onda ${\nabla}^{2} f - \frac{1}{{v}^{2}} \frac{{\partial}^{2} f}{{\partial t}^{2}} =0$ con la ecuación de onda de Schroedinger.

[Alriga]

Re: Propagación

Solo un pequeño detalle purista tiquismiquis, si me lo permites , la expresión

$\vec E = c \vec B$

aunque ya se sobreentiende, rigurosamente debería ser $|\vec E| = c \cdot |\vec B|$

Saludos.

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Re: Propagación

Ante todo, gracias a los amigos que se han hecho presentes.

Julián, me ha parecido superflua la aclaración de referir todo a una onda elemental, que en el vacío se propaga con velocidad C . Pero a eso se refiere la consulta.

Has nombrado como ejemplo la onda triangular, que no es una onda elemental. Es un grupo de ondas y como has dicho, el desarrollo en serie reconoce las ondas elementales que componen al grupo. La idea es cenirnos al caso de una onda elemental, que al fin y al cabo es una entelequia, como el ciclo de Carnot y como otros instrumentos conceptuales de la física. Sin salir de la onda elemental, tenemos senos, cosenos y exponenciales complejas.

Tal vez tú y otras personas puedan señalar cuáles leyes físicas y/o cuáles principios prohiben que el desplazamiento eléctrico de la onda plana elemental tenga la forma siguiente.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$\vec{x}$ y $\vec{y}$ son versores de los ejes respectivos (en coordenadas cartesianas ortogonales)

Es decir oponer objeciones. Intentaré plantear algunas como ejemplos.

- Objeción 1.a - La divergencia de ese campo es ditinta de cero. Eso exige suponer que en la región donde la onda se propaga aparece una densidad de carga. Esa densidad no causaría sorpresa si la onda se propagase en un medio material capaz de polarizarse, pues ahí tenemos la densidad de carga ligada de polarización. Maxwell vivió en el siglo 19 , pero en ese siglo y ahora el vacío tiene las mismas cualidades. Si ahora es capaz de polarizarse, antes también, aunque nadie lo nombrase. ¡¡¡ Pero la polarización del vacío exige la creación de partículas y eso, a su vez, exige unas energías tremendas !!!

¿ Hay mucha seguridad de que el vacío se polarice solamente bajo energías tremendas ? ¿ O sólo sabemos con seguridad que para esas energías hay detectores confiables, pero no para energías tremendamente menores ? Me pareció que no vale la pena jugarme la vida por la exclusividad de las energías altísimas. En ese caso, para ser cherente conmigo mismo, debo examinar lo mejor que pueda la hipótesis del vacío que se polariza siempre, con altas y con bajas energías. ¿ Hasta qué límite de bajas ? No mezquinesmos, porque los razonamientos se hacen sin pagar dinero. Pongamos una hipótesis de polarización hasta el límite último, energía infinitesimalmente próxima a cero. Entonces lo mismo que sentimos respecto a la carga ligada dentro de un medio material, es decir nada extrañó, lo sentiremos para el vacío, aunque sea hipotéticamente. La divergencia distinta de cero, en ese caso, no es objetable. Al menos no más objetable que negar la polarización del vacío para energías bajas.

- Objeción 1.b - Las partículas necesarias para la polarización del vacío lo convierten en un medio alineal, donde la onda elemental no puede existir. Pero estamos olvidando la hipótesis propuesta, que admite la polarización del vacío sin creación de partículas.

- Objeción 2 - La densidad de carga funciona cumpliendo una función de onda. Es una densidad ondulatoria. Si eso implicase carga en movimiento sería el fin de la excursión. ¡¡¡ Guarden los bolsos, hasta aquí llegamos !!! ¿ O una densidad de carga ondulatoria puede existir sin movimiento de carga ?
Cuando en el agua se propaga una onda suave, cada porción del líquido sube y baja sin moverse en la dirección de propagación. En el caso del agua, al subir y bajar, varía el potencial gravitatorio adscripto a cada porción de líquido. ¿ Y si en el vacío variase la densidad de carga adscripta a cada porción del medio ? ¡ Pero en ese caso tendría que pasar carga a través de una superficie gaussiana que envuelva a la porción del medio analizada ! No necesariamente, si la porción mínima capaz de mantener condiciones funcionales abarcase un ciclo espacial entero, dentro del cual se mantiene la neutralidad global en todos los instantes del tiempo. ¡¡¡ Pero eso es imponer una condición discreta en un contexto de funciones continuas !!! Es verdad. Pero la herejía no es mayor que aplicar las funciones continuas de los fluidos al agua que hay dentro de una botella. Y, de paso, casi dan ganas de ver una ventaja, porque la condición discreta no se agrega por capricho. Se establece naturalmente, porque no podemos violar las leyes conocidas.

- Objeción 3 - La hipótesis propuesta viola la relatividad, porque todos los observadores concordarían en que la densidad de carga varía sin que la carga se mueva. Para todos los observadores la carga ligada está siempre en reposo. Eso es reinstaurar la falacia del reposo absoluto, en contra de los postulados relativistas. ¿ Viola un anuncio luminoso los postulados relativistas ? Hoy existen anuncios gigantes, constituidos por una gran cantidad de celdas controladas por electrónica programable. La luz que cada celda emite obedece al programa y es posible crear imágenes móviles. Bastaría programar una función de onda para que las personas vean la propagación. ¿ Por qué el anuncio luminoso funciona sin violar la relatividad ? Lo que hagamos para responder esa pregunta puede ser útil para responder a la objeción del reposo absoluto de la carga ligada en la polarización del vacío. Pensemos que un tablero luminoso programable podría ser usado en una sala de teatro negro, donde la única luz proviene de las celdas del tablero. Gente que ingresa con la sala completamente oscura, cuando comienza el espectáculo no sabe que hay un tablero responsable del fenómeno. Copiemos a Platón y su analogía de la caverna. Imaginemos una sala de teatro negro grande como un pueblo y niños inteligentes que han nacido y vivido sin salir jamás de la sala. Todo lo que los niños tienen para observar son las imágenes producidas por el tablero, que semejan objetos y movimientos entre ellos. Ignorando la existencia del tablero, la física desarrollada cuando esos niños crezcan será relativista, coherente e irrefutable, pero no excluirá la posibilidad de una física diferente cuando en esa sala grandísima se encienda la luz y todos vean el tablero. La física basada en el tablero puede ser tan coherente e irrefutable como la relatividad que la precedió y ambos esquemas pueden ser mutuamente compatibles. Es más, deben serlo porque, en caso contrario, alguno de los dos estáría mal, o ambos. Pensar es gratis y nada cuesta explorar la hipótesis del vacío universalmente polarizable, con cargas ligadas que todos los observadores consideran inmóviles.

- Objeción 4 - La onda establece una corriente de desplazamiento que, según la electrodinámica, es la causa del campo magnético. Cuando un campo magnético es causado por una corriente, hay inductancia. Eso exige admitir que la propagación posee una inductancia, que será calculable. Y como la porción funcional mínima abarca un ciclo espacial entero, cada semiciclo aloja carga de un signo, que ante el observador aparece como una carga constante que viaja en la dirección de propagación. Tenemos virtualmente un bonito capacitor, cuya capacitancia será calculable. Los efectos inductivo y capacitivo están mutuamente ligados y hay resonancia, como cuando una bobina y un capacitor se conectan mutuamente. Si la frecuencia de resonancia no coincide con la frecuencia de la onda, fin de la excursión.

Dentro de lo poco que logro entender, he puesto algunas objeciones como ejemplos y espero que me ayudéis a encontrar más. Esos ejemplos muestran que, en principio, la hipótesis de la polarizabilidad universal produce consecuencias falsables. Y las pruduce desde los primeros pasos, de modo ral que no será mucho el esfuerzo perdido si topásemos con la obligación de abandonar.

[Julián]

Re: Propagación

Has nombrado como ejemplo la onda triangular, que no es una onda elemental. Es un grupo de ondas y como has dicho, el desarrollo en serie reconoce las ondas elementales que componen al grupo. La idea es cenirnos al caso de una onda elemental, que al fin y al cabo es una entelequia, como el ciclo de Carnot y como otros instrumentos conceptuales de la física. Sin salir de la onda elemental, tenemos senos, cosenos y exponenciales complejas.

Por definición onda es todo fenómeno físico que es descripto por una solución a la ecuación de onda. Otra cosa diferente es una onda armónica, que son ondas que son autofunciones de sistemas LTI y que como son ortoganles al tener diferente frecuencia es posible realizar una base para un espacio y de esta manera llegamos a la transformada de fourier o laplace. Por onda elemental te estás refiriendo a onda armónica pero no hace al que estamos tratando.

Creo que no te llego a entender al 100% que es lo que te inquieta. Me ha pasado tener una duda y se me es dificil expresarla por escrito. Seguro que en tu próxima comentario podrás ser más especifico

$\varepsilon \vec{E} = \vec{D} - \vec{P}$ y $\vec{P} = {\varepsilon}_{0} X \vec{E}$

$\varepsilon = (1 - x) {\varepsilon}_{0}$


El vector polarización eléctrico solamente existe en medios materiales, donde existen cargas polarizables, es decir dipolos ($\vec{p}$) y $X$ es la suceptibilidad eléctrica no siempre lineal y dado tensorialmente.


$\vec{P} = div (\vec{p})$


Es por este motivo que el campo eléctrico producido por una fuente es menor en un dieléctrico que en el vacio por el efecto de apantallamiento de la polarización. $\varepsilon \vec{E} = \vec{D} - \vec{P}$


Por lo tanto en el vacio: $\vec{p} = 0$ y $\varepsilon \vec{E} = \vec{D}$ Por lo que en el vacio o en medios con carga libres (como lo es el plasma) $\notin \vec{p}$ y $\varepsilon \vec{E} = \vec{D}$

- Objeción 1.a - La divergencia de ese campo es ditinta de cero. Eso exige suponer que en la región donde la onda se propaga aparece una densidad de carga. Esa densidad no causaría sorpresa si la onda se propagase en un medio material capaz de polarizarse, pues ahí tenemos la densidad de carga ligada de polarización. Maxwell vivió en el siglo 19 , pero en ese siglo y ahora el vacío tiene las mismas cualidades. Si ahora es capaz de polarizarse, antes también, aunque nadie lo nombrase. ¡¡¡ Pero la polarización del vacío exige la creación de partículas y eso, a su vez, exige unas energías tremendas !!!

Pues en un medio polarizable la divergencia del vector desplazamiento es cero. Deja de ser cero en medios donde existe carga libre. Ya que por eso se definió estos 2 vectores, los cuales no tienen existencia real ya que el que tiene existencia real es $\vec{E}$, la separación en $\vec{D}$ y $\vec{P}$ es solamente para el análisis.

$\varepsilon \nabla .\vec{E} = \nabla . \vec{D} - \nabla. \vec{P} = {\rho}_{l} + {\rho}_{p}$ donde ${\rho}_{l}$ es densidad de carga libre y ${\rho}_{p}$ densidad de carga de polarización.

Ahora hay 2 aspectos a tener en cuenta. El vacio es polarizable y dado cierto valor de campo de ruptura es conductor, es decir, se da la existencia de cargas libres. De la misma manera que sucede con el aire, el cual tiene cierto valor de polarización (muy pequeño por eso es casi la permitividad eléctrica igual a la del vacio) pero dado un valor de campo eléctrico, se da la existencia de cargas libres que lo hacen conductor y estas cargas libres suceden porque el campo eléctrico arranca los electrones de las particulas del aire.

El vacio debido a las partículas virtuales es polarizable, pero con un valor extremadamente pequeño que el efecto apantallamiento no se alcanza a apreciar. En el aire no se alcanza a apreciar con eso te digo todo, aunque existe. Pero cuando la densidad de energía del campo eléctrico alcanza cierto nivel, las cargas virtuales dejan de serlo obteniendo un electrón y un positron y hay cargas libres en el espacio ahora.

La creación de particulas electrón positron por el efecto de las fluctuasiones del vacio es otro tema.

Objeción 2 - La densidad de carga funciona cumpliendo una función de onda. Es una densidad ondulatoria. Si eso implicase carga en movimiento sería el fin de la excursión. ¡¡¡ Guarden los bolsos, hasta aquí llegamos !!! ¿ O una densidad de carga ondulatoria puede existir sin movimiento de carga ?
Cuando en el agua se propaga una onda suave, cada porción del líquido sube y baja sin moverse en la dirección de propagación. En el caso del agua, al subir y bajar, varía el potencial gravitatorio adscripto a cada porción de líquido. ¿ Y si en el vacío variase la densidad de carga adscripta a cada porción del medio ? ¡ Pero en ese caso tendría que pasar carga a través de una superficie gaussiana que envuelva a la porción del medio analizada ! No necesariamente, si la porción mínima capaz de mantener condiciones funcionales abarcase un ciclo espacial entero, dentro del cual se mantiene la neutralidad global en todos los instantes del tiempo. ¡¡¡ Pero eso es imponer una condición discreta en un contexto de funciones continuas !!! Es verdad. Pero la herejía no es mayor que aplicar las funciones continuas de los fluidos al agua que hay dentro de una botella. Y, de paso, casi dan ganas de ver una ventaja, porque la condición discreta no se agrega por capricho. Se establece naturalmente, porque no podemos violar las leyes conocidas.

¿Qué densidad de carga? libre o polarizable? ya que has hecho la distinción y luego no distingues.

Acá hay 2 aspectos. El primero un medio con solamente carga libre. Por ejemplo la incidencia de una onda EM sobre un metal perfecto o un volumen con plasma, no existe campo eléctrico en dicha región por la existencia de las cargas libres por lo que se da una reflexión total de la onda. Para que no exista campo eléctrico en su interior la densidad de carga libre oscila a la misma frecuencia que el campo eléctrico (ya que genera un campo opuesto que lo cancela, en caso contrario existiría campo en el interior). Si el medio no es conductor perfecto tenemos pues una onda reflejada y una transmitida, por lo que hay existencia de onda en dicha región con carga libre la cual por supuesto al no ser perfecto su amplitud decrece exponencialmente a medida que recorre dicho medio sediendo energía. Aca nuevamente hay una oscilación de las cargas libres pero debido a las imperfecciones del material no cancelan el campo por completo.

Ahora ante un medio con ausencia de carga libre y con solo cargas de polarización, como lo es un dieléctrico no perfecto

$\varepsilon \vec{E}(\vec{r}, t) = - \vec{P} (\vec{r}, t)$ y por supuesto los dipolos oscilan.

http://ayudaelectronica.com/condiciones-de-frontera-1/
http://ayudaelectronica.com/condiciones-de-frontera-2/

Ante la existencia de un campo eléctrico de amplitud de ruptura de vacio, se generan cargas libres. Dichas cargas libres se mueven en dirección al campo eléctrico en función de de carga. Los electrones para un lado y los positrones para el otro. Y siguendo las condiciones de fronteras, no existe campo eléctrico ni magnético en la región donde existen dichas cargas por lo que hay una onda reflejada. Por lo tanto esa energía que creó pares de partículas es devuelta en una onda con sentido opuesto (desfasada 180º).
Si se da el caso de que no se alcanza el campo de ruptura del vacio, existen cargas polarizables pero la onda se transmite y como no existe imperfecciones en el vacio (apreciables) no hay variación en la amplitud de la onda.


[QUOTE]

- Objeción 4 - La onda establece una corriente de desplazamiento que, según la electrodinámica, es la causa del campo magnético. Cuando un campo magnético es causado por una corriente, hay inductancia. Eso exige admitir que la propagación posee una inductancia, que será calculable. Y como la porción funcional mínima abarca un ciclo espacial entero, cada semiciclo aloja carga de un signo, que ante el observador aparece como una carga constante que viaja en la dirección de propagación. Tenemos virtualmente un bonito capacitor, cuya capacitancia será calculable. Los efectos inductivo y capacitivo están mutuamente ligados y hay resonancia, como cuando una bobina y un capacitor se conectan mutuamente. Si la frecuencia de resonancia no coincide con la frecuencia de la onda, fin de la excursión.

Exactamente existen inductancias y capacitancias, Recuerda que la permitividad eléctrica tiene unidades de Faradios sobre metros y la permeabilidad magnética unidades de Henry sobre metro.
Por ejemplo al calcular la velocidad de una onda en una linea de transmisión o guia de onda, esta es $1/(\sqrt{L C})$ donde L y C son las inductancias y capacitancias distribuidas en la linea.
Volviendo al vacio, recuerda que son inductancias y capacitancias distribuidas no concentradas.

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Re: Propagación

Demos un solo paso por vez. Primero saber si alguna ley o algún principio prohiben un desplazamiento que tenga la forma siguiente.

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Las componentes de ese desplazamiento son mutuamente perpendiculares. Un número complejo funciona como un vector que tiene dos componentes mutuamente perpendiculares. Entonces, ese desplazamiento tiene matemáticamente la forma de la solución compleja para una onda elemental. Además de matemáticamente similar, ¿ es físicamente admisible como solución compleja de la ecuación de onda electromagnética ? ¿ O viola leyes y/o principios de la física ? En caso de violar algo, lo desechamos y fin del cuento. En caso de no haber violaciones, podremos analizar las implicaciones de ese desplazamiento. Pero primero lo básico : ¿ es desechable o admisible un desplazamiento como ese ?

¿ Qué haremos para averiguarlo ? Lo primero que me ocurre es pasarlo por la máquina de picar, es decir calcular divergencia y rotor. Si el rotor no es idéntico al rotor que las ecuaciones de Maxwell especifican para una onda elemental, fin del cuento. Si es idéntico podremos dar el paso siguiente, calculando la divergencia y analizando lo que implica físicamente, no sea cosa que viole algo. Mi idea es empezar por ese lado, ¿ qué opinas ?

[Julián]

Re: Propagación

¿ es físicamente admisible como solución compleja de la ecuación de onda electromagnética ?

Si, pero en sistemas guiados como guias de ondas y fibras ópticas. Es denominado modo transversal magnético TM

https://es.wikipedia.org/wiki/Modo_t...magn%C3%A9tico

Efectivamente que sea TM o TE está impuesto por las condiciones iniciales en la ecuación diferencial (ecuación de onda) donde las condiciones de frontera imponen una existencia nula de campo eléctrico y magnético en las paredes de la guia de onda. Decir guia de onda es lo mismo a decir planos conductores infinitos paralelos entre los cuales existe una onda electromagnética.

¿ Qué haremos para averiguarlo ?

Ya está hecho

http://www.ing.uc.edu.ve/~azozaya/docs/tem2/OnGuia.pdf
http://personales.unican.es/peredaj/...as-de-Onda.pdf
http://catedra.ing.unlp.edu.ar/elect.../Guia_Onda.pdf

Esos enlaces los encontré en internet no me fijé bien el contenido, es solo para agregar y no escribir las ecuaciones a estas horas. Por cierto recuerda que las ecuaciones de Helmothz toman una señal exponencial compleja pero solamente porque se está haciendo la simplificación fasorial, luego se considera la parte real para la onda propiamente dicha.
Para ver bien el desrrollo te recomiendo Ondas Electromagnéticas y sistemas Radiantes del autor Jordan ó Fundamentos de electromagnetismo para ingenieria - David K. Cheng.

Pero sin las condiciones de frontera que imponen las paredes conductoras solo existe TEM.

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Re: Propagación

Sí Julián , esto va mal desde el primer paso. Todo mi agradecimiento por la asistencia que has brindado y un saludo cordial.