Otras carreras Potencial de un sistema de cargas

[Paqui]

¡Hola!

Tengo un sistema de 4 cargas situadas en los vértices de un cuadrado, algo parecido a esto:

+Q (1) -2Q (2)




+Q (3) +Q (4)

Me piden hallar el módulo del campo eléctrico en el centro del cuadrado, que se encuentra a una distancia r de las cargas; teniendo en cuenta los sentidos del campo, se deduce que el campo de las cargas 1 y 4 se anulan entre sí. La carga negativa 2 crea un campo "atractivo", de modo el vector campo apunta hacia ella y la carga positiva 3 crea un campo de "repulsión", por lo que el sentido del vector es el mismo que el de la carga negativa. Entonces:

$E=k(\frac{Q}{{r}^{2}}+\frac{2Q}{{r}^{2}})=\frac{3kQ}{{r}^{2}}$

Y ahora me piden que calcule el potencial en el centro del cuadrado y ahí está mi duda. No sé si se hacerlo aplicando el principio de superposición (me da V= kQ/r) o si se hace integrando en la expresión del campo (en ese caso me daría V=3kQ/r). Ambas opciones me parecen válidas, aunque esta última me chirría un poco: si bien es cierto que para el campo eléctrico - al ser un vector - las cargas 1 y 4 no influyen al anularse entre sí los campos, como el potencial es un escalar, me parece raro que esas dos cargas no influyan...Pero por otra parte el potencial se define como:

$V=\int \vec{E}d\vec{r}$

(límite de integración superior: infinito; límite de integración inferior: r)

Y haciendo eso me da otro resultado para el potencial...

¿Cuál es el correcto? (¿o qué estoy razonando mal?)

¡Gracias de antemano!

[Richard R Richard]

Re: Potencial de un sistema de cargas

El campo que crea la carga 1 en el eje x

$E_{x1}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac x{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {r\cos 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {1}{\sqrt 2\,r^2}$

$E_{y1}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac y{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {-r\sin 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {-1}{\sqrt 2\,r^2}$

Asi para la carga 2

$E_{x2}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}-2Q\dfrac x{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}-2Q\dfrac {-r\cos 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {2}{\sqrt 2\,r^2}$

$E_{y2}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}-2Q\dfrac y{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}-2Q\dfrac {-r\sin 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {2}{\sqrt 2\,r^2}$

para la 3

$E_{x3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac x{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {r\cos 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {1}{\sqrt 2\,r^2}$

$E_{y3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac y{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {r\sin 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {1}{\sqrt 2\,r^2}$

para la 4

$E_{x4}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac x{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {-r\cos 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {-1}{\sqrt 2\,r^2}$

$E_{y4}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac y{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {r\sin 45\°}{r^3}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {1}{\sqrt 2\,r^2}$

sumando

$E_{x}=E_{x1}+E_{x2}+E_{x3}+E_{x4}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {3}{\sqrt 2\,r^2}$

$E_{y}=E_{y1}+E_{y2}+E_{y3}+E_{y4}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {3}{\sqrt 2\,r^2}$

$|E|=\sqrt{E_{x}^2+E_{y}^2}=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {3}{r^2}$

el potencial sera

$V= -\int_{\infty }^{r}\vec E \cdot d \vec l =-\int_{\infty}^r |E|dl=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}Q\dfrac {3}{r}$

[Paqui]

Re: Potencial de un sistema de cargas

¡Muchas gracias por responder Richard R Richard! Y por tomarte la molestia de escribir todo el procedimiento, no era necesario

Yo pensaba que para hallar el potencial, además de integrar la expresión del campo eléctrico, otra opción era aplicar el principio de superposición así:

$V={V}_{1}+{V}_{2}+{V}_{3}+{V}_{4}=k(\frac{Q}{r}+\frac{Q}{r}+\frac{Q}{r}+\frac{-2Q}{r})=\frac{kQ}{r}$

Y aunque yo resolví el ejercicio de la misma forma que tú, la verdad es que no me queda muy claro por qué con el principio de superposición no sale bien...

[Richard R Richard]

Re: Potencial de un sistema de cargas

No sale bien porque la suma del campo eléctrico es una suma vectorial, y la suma

$V={V}_{1}+{V}_{2}+{V}_{3}+{V}_{4}=k(\frac{Q}{r}+\frac{Q}{r}+\frac{Q}{r}+\frac{-2Q}{r})=\frac{kQ}{r}$

no es correcta es una suma escalar, en muy pocas ocasiones pueden coincidir.

Solo pueden coincidir cuando la dirección de todos los vectores entre carga y punto de calculo, estan sobre una misma recta, y aqui son los lados de un cuadrado, no coinciden seguro.

es por eso que me tome el trabajo de calcular cada componente del campo , para hacer la suma vectorial y luego sume las componentes en cada dirección.

El principio de superposición se puede usar, pero los potenciales individuales estarian mal calculados, pues la integral debe hacerse siguiendo el mismo camino dl para todos los potenciales y no arbitrariamente hasta una distancia r.