1r ciclo ¿De dónde sale el Lagrangiano del Campo Electromagnético?

[Schwarze97]

Hola a todos. Primero de todo quiero disculparme de antemano si escribo alguna tontería, dado que no soy nada experto en formalismo lagrangiano de campos tanto clásicos como cuánticos.

El otro día me enteré de que si metes el lagrangiano del campo electromagnético en las ecuaciones de Euler-Lagrange, te salen las ecuaciones de Maxwell. He intentado documentarme sobre el tema y he leído que el lagrangiano del campo electromagnético es $\mathcal{L}=\frac{1}{4}{F}_{\mu\nu}{F}^{\mu\nu}$.

Mi pregunta es: por qué el lagrangiano tiene esa expresión? Tal y como yo he aprendido lagrangianos (de forma muuuuy básica, en una ingeniería), el lagrangiano es $\mathcal{L}={E}_{cinetica}-{E}_{potencial}$. Teniendo eso en cuenta, el lagrangiano de una partícula que se encuentra en un campo electromagnético no debería ser la energía cinética de esa partícula menos su energía potencial? Cuál sería esa energía potencial?

Entiendo que ${F}_{\mu\nu}{F}^{\mu\nu}$ es una invarianza escalar relacionada con el tensor de campo electromagnético, pero por qué añadirle el 1/4? Y por qué elegir esa invarianza y no seguir lo de energía cinética menos potencial? He leído en otros sitios que el lagrangiano es $\mathcal{L}=-\frac{1}{{\mu}_{0}4}{F}_{\mu\nu}{F}^{\mu\nu}$; por qué?

Es posible que esté mezclando conceptos distintos. Agradecería una explicación clarificadora sobre todo este tema.

Gracias.

[alexpglez]

Re: ¿De dónde sale el Lagrangiano del Campo Electromagnético?

Mis conocimientos son también bastante básicos. Básicamente lo que se busca es que las ecuaciones de Euler-Lagrange al variar respecto al campo electromagnético y a las coordenadas de las partículas den las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz.
Quiero decir:

$$S=a*S_{EM}+b*S_{M}+c*S_{int}$$

Donde por ejemplo (en el caso de relatividad especial):

$$S_{M}=\int_{t_0}^{t_1} \sum_i m_i\sqrt{g_{\mu \nu}\frac{\partial x^{\mu}_i}{\partial t}\frac{\partial x^{\nu}_i}{\partial t}}dt$$

$$S_{int}=\int_{t_0}^{t_1} \int_{R^3} j^{\mu} g_{\mu \nu} A^{\nu}dV dt$$

$$S_{EM}=\int_{t_0}^{t_1} \int_{R^3}{F}_{\mu\nu}{F}^{\mu\nu}dV dt$$

Y las constantes son tales tal que al aplicar las ecuaciones de Euler-Lagrange salen las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz. (No recuerdo exactamente cuanto valen, y depende de las unidades, si se toma por ejemplo $c=\mu_0=1$, o $K=c=1$ con K la constante que aparece en la ley de Coulomb, o se toman unidades genéricas).
Esa es la cuestión acerca de la constante multiplicativa y las ecuaciones. Sobre cuestiones teóricas sobre el lagrangiano electromagnético, hay que notar que la fórnula no depende del sistema de coordenadas elegido, además de ser invariante de Lorentz, y otras consideraciones (como que los potenciales $A_{\mu}$ están definidos salvo un gradiente, lo que se llama invarianza Gauge, aunque no sé muy bien decirte qué significa... pero implica la conservación de la carga creo haber leído).

A su vez, puedes hacer un simil de términos del lagrangiano electromagnético como si fuesen energía cinética - energía potencial.

Saludos