Otras carreras Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

[antonio0]

Hola, ¿como puedo a partir de tener una impedancia en un circuito de corriente alterna, por ejemplo {31,94}_{32,36} saber que elementos pueden formar esa impedancia, es decir, si es una resistencia, una inducción y un condensador? El enunciado es este, con su circuito: Sea el circuito de la figura. Si V0 = 100 V, I1 = 2 A, \alpha 1 =20⁰, I2 = 4 A, \alpha 2=-10⁰, R=20Ω, L=0.1 H y ν=50Hz, calcule a) las impedancias Z1, Z2 y la Z total del circuito.b) Señale qué dos elementos simples pueden formar Z1 yZ2.c) Calcule la caída de tensión en cada elemento delcircuito y dibuje el diagrama de tensiones. d) Calcule lapotencia activa total del circuito.
Z1 me da {31,94}_{32,36} y Z2 {43,41}_{-55,45}

[Al2000]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

Es bastante directo, camarada. Mira, para cada rama tienes la corriente y conoces el voltaje aplicado; puedes determinar inmediatamente el valor de la impedancia desconocida. Expresa la impedancia como un número complejo Z = R + j X; la parte real corresponde a la resistencia R de esa impedancia y la parte imaginaria será la reactancia, inductiva si es positiva o capacitiva si es negativa.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

El ejercicio se inicia así:

$v(t)=V_0 \cos(\omega t)=100 \cdot \cos (\omega t)$

El valor eficaz de la tensión:

$\bold V=\dfrac{100}{\sqrt 2} \ \angle 0^{\circ}=70.7107$

$R=20$

$\bold I_1=2 \angle 20^{\circ}=2 \cos 20^{\circ} + j 2 \sin 20^{\circ}$

$\bold Z_1=R_1+jX_1$

$\bold V=\bold I_1 \cdot (R+R_1+jX_1)$

$70.7107=(2 \cos 20^{\circ}+j 2 \sin 20^{\circ}) \cdot (20+R_1+jX_1)$

Multiplicamos e igualamos partes reales y partes imaginarias, con lo que tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

$$70.7107=40 \cdot 0.939692+2\cdot 0.939692 \ R_1-2 \cdot 0.342020 \ X_1$$

$$0=40 \cdot 0.342020+2\cdot 0.342020 \ R_1+2 \cdot 0.939692 \ X_1$$

$R_1=13.2232 \ \Omega$

$X_1=-12.0922 \ \Omega$

Como la reactancia es negativa, la parte imaginaria de la impedancia Z1 se modeliza mediante un condensador

$C_1=\dfrac 1 {2 \pi \nu X_1}=\dfrac 1 {2 \pi 50 \cdot 12.0922}=263.2 \ \mu F$

Para Z2 se hace lo mismo, si tienes dudas, pregunta.

Saludos.

[Al2000]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

...

$100=(2 \cos 20^{\circ}+j 2 \sin 20^{\circ}) \cdot (20+R_1+jX_1)$

Multiplicamos e igualamos partes reales y partes imaginarias, con lo que tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

$$100=40 \cdot 0.939692+2\cdot 0.939692 \ R_1-2 \cdot 0.342020 \ X_1$$

$$0=40 \cdot 0.342020+2\cdot 0.342020 \ R_1+2 \cdot 0.939692 \ X_1$$

...

Ahora si que me confundiste , con eso de un sistema de ecuaciones. ¿No es directo el cálculo?

$$Z_1 = R_1 + j X_1 = \frac V {I_1} - R$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

... ¿No es directo el cálculo?

$$Z_1 = R_1 + j X_1 = \frac V {I_1} - R$$

Si desarrollamos lo que has escrito:

$R_1 + j X_1 = \dfrac V {\bold I_1} - R$

$20+R_1+jX_1=\dfrac{100 / \sqrt 2}{2 \angle 20^{\circ}}$

$20+R_1+jX_1=50 / \sqrt 2 \ \cos(-20^{\circ})+j 50 / \sqrt 2 \ \sin(-20^{\circ})$

Igualando partes reales y partes imaginarias obtenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas, pero más fáciles de resolver que en mi post anterior, puesto que en cada ecuación solo hay una incógnita.

$$20+R_1=50 / \sqrt 2 \ \cos(-20^{\circ})$$

$$X_1=50 / \sqrt 2 \ \sin(-20^{\circ})$$

$R_1=13.2232 \ \Omega$

$X_1=-12.0922 \ \Omega$

Ciertamente realizando las operaciones en el orden que ha expuesto Al2000, (dividir primero la tensión entre la corriente), resultan más sencillas que en el orden que había expuesto yo en mi post anterior, (que primero he multiplicado la corriente por la impedancia)

Como la reactancia es negativa, la parte imaginaria de la impedancia Z1 se modeliza mediante un condensador

$C_1=\dfrac 1 {2 \pi \nu X_1}=\dfrac 1 {2 \pi 50 \cdot 12.0922}=263.2 \ \mu F$

Para la Impedancia Z2

$\dfrac{V}{\bold I_2}=R_2+jX_2+j \omega L$

$\dfrac{100 / \sqrt 2}{4 \angle-10^{\circ}}=25 / \sqrt 2 \ \angle 10^{\circ}$

$25 / \sqrt 2 \ \cos 10^{\circ} + j 25 / \sqrt 2 \ \sin 10^{\circ}=R_2+j(2 \pi 50 \cdot 0.1 + X_2)$

De donde es fácil obtener R2 y X2 igualando partes reales e imaginarias

$R_2=17.4091 \ \Omega$

$X_2=-28.3462 \ \Omega$

Como la reactancia es negativa, la parte imaginaria de la impedancia Z2 se modeliza mediante un condensador

$C_2=\dfrac 1{2 \pi 50 \cdot 28.3462}=112.3 \ \mu F$

La impedancia total el circuito es el paralelo de ambas impedancias

$\bold Z=(R+\bold Z_1) \ || \ (j \omega L + \bold Z_2)=(20+13.2232-j 12.0922) \ || \ (17.4091+j 10 \pi-j 28.3462)$

$\bold Z=(33.2232-j 12.0922) \ || \ (17.4091+j 3.0697)$

$\dfrac 1{\bold Z}=\dfrac 1{33.2232-j 12.0922}+\dfrac 1{17.4091+j 3.0697}$

$\bold Z=12.15245+j 0.02204=12.15247 \angle 0.1039^{\circ}$

La potencia activa total del circuito la podemos calcular de 2 formas:

$P=(20+R_1) \cdot I_1^2+R_2 \cdot I_2^2=(20+13.2232) \cdot 2^2+17.4091 \cdot 4^2=411.4 \ W$

$P=V I_1 \cos \phi_1 + V I_2 \cos \phi_2=70.7107 \cdot 2 \cdot \cos 20^{\circ} +70.7107 \cdot 4 \cdot \cos (-10^{\circ})=411.4 \ W$

Saludos.

[antonio0]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

Ahora acabo de ver que el desarrollo que has hecho tu no me coincide con el del profesor. No se que es lo que hace que no opera con v eficaz y el angulo de desfase de las intensidades pone el signo opuesto, cosa que no me explico. Tengo que calcular la Z1, no lo que tiene cada uno y sus valores, aunque se puede deducir ya que es facil. Hace $Z=\frac{V}{{I}_{1}}$ para V=100 e ${I}_{1 }= {2e}^{\hat{j -20}}$. Como Za= Z1 +R, (Za es la impedancia de la rama del centro) de ahí despejas y ya queda Z1 pero no se si se puede hacer así también. ¿Se puede?

[Alriga]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

El enunciado dice I1=2 A En circuitos de corriente alterna, cuando no se dice expresamente lo contrario ese es el valor eficaz.

En cambio la tensión te la da como $v(t)=V_0 \cos (\omega t)$

Y dice $V_0=100 \ V$ por lo tanto 100 es el valor de pico.

A partir de aquí, podemos optar por:

1) Trabajar con valores eficaces. Es lo que he hecho yo, por lo tanto lo primero es hacer $V=100 \ / \ \sqrt 2$

2) Trabajar con valores de pico. Se puede trabajar así pero entonces primero hay que convertir el valor eficaz de la corriente en valor de pico $I_1=2 \cdot \sqrt 2$

Lo que no se puede hacer es trabajar con la tensión en valor de pico (100 V) y la corriente en valor eficaz (2 A)

En cuanto al ángulo, si a mi el enunciado me dice que la tensión es:

$v(t)=V_0 \cos (\omega t)$

En fasores, eso es $\bold V=70.71 \angle 0^{\circ}=70.71$

Y si me dice que la corriente es $I_1=2 \ A$ , $\alpha_1=20^{\circ}$

En fasores para mi eso es $\bold I_1=2 \angle 20^{\circ}$ , NO $2 \angle -20^{\circ}$

Saludos.

[antonio0]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

Vale, muchas gracias a todos por las respuestas y lo que me estáis ayudando. Ya me parecía que estaba mal y si, junta eficaz con pico. Aquí va mi ultima pregunta (creo). La formula $\tan (\alpha)\frac{Im(Z)}{ Re(Z)})$ solo se puede aplicar cuando R L y C está exclusivamente en serie. ¿O cuando sea todo el circuito de corriente alterna en serie? Al igual que la formula$Z= \sqrt{{R}^{2 } +{LW}^{2} }= \frac{Vef^2}{Ief^2 }$. No te pueden pedir resonancia en un circuito en el que no puedas aplicar esas formulas tampoco, ¿no?

[Alriga]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

… pregunta ... La fórmula $\tan (\alpha)=\frac{Im(Z)}{ Re(Z)})$ solo se puede aplicar cuando R L y C está exclusivamente en serie. ¿O cuando sea todo el circuito de corriente alterna en serie? …

Si estamos en corriente alterna y régimen permanente, cualquier circuito, aunque sea complicado y tenga series, paralelos, … de elementos pasivos, visto desde dos terminales (dipolo), siempre equivale a una Impedancia equivalente $\bold Z$ que es un número complejo

$\bold Z=Re +j \ Im$

Entonces

$\dfrac{Im}{Re}=\tan \alpha$

Y $\alpha$ es siempre el ángulo que forma la tensión en bornes del dipolo con la corriente que atraviesa el dipolo, por complicado que sea el interior del dipolo en cuanto a combinaciones de series, de paralelos, ...
Por ejemplo en este hilo, hemos visto que la impedancia equivalente total del circuito visto desde la fuente de tensión es:

$\bold Z=12.15245+j 0.02204$

$\tan \alpha=\dfrac{0.02204}{12.15245}$

Por lo tanto el ángulo $\alpha=0.1039^{\circ}$ es el ángulo que forma la tensión $\bold U$ aplicada al dipolo con la corriente $\bold I$ que atraviesa el dipolo.

… la formula $Z= \sqrt{R^2 +(Lw)^2}$ …

Esta fórmula solo es válida para calcular el módulo de la impedancia equivalente de una Resistencia R en serie con una Inductancia L

… la formula $Z= \frac{Vef^2}{Ief^2 }$ …

Esa fórmula está mal, los cuadrados sobran, lo correcto es:

$Z= \dfrac{V_{ef}}{I_{ef}}$

Esta fórmula es válida siempre para cualquier dipolo pasivo en régimen permanente, y te dice que el módulo de la impedancia de cualquier dipolo es el cociente entre el módulo de la tensión eficaz aplicada al dipolo y el módulo de la corriente eficaz que lo atraviesa. (Dipolo = cualquier combinación de elementos pasivos visto desde 2 terminales) Y también es cierta siempre para los valores complejos de Z, V, I:

$\bold Z= \dfrac{\bold V_{ef}}{\bold I_{ef}}$

… No te pueden pedir resonancia en un circuito en el que no puedas aplicar esas fórmulas tampoco, ¿no? …

Hemos visto que cualquier circuito dipolo pasivo se puede reducir a una Impedancia Equivalente:

$\bold Z=Re +j \ Im$

En donde en general, tanto la parte real como la parte imaginaria dependerán de la pulsación $\omega$ (En general, si varías la frecuencia, varía tanto el valor de Re como el valor de Im)

$Re=Re(\omega)$

$Im=Im(\omega)$

Se define entonces como pulsación de resonancia serie del circuito, al valor de la pulsación que hace que se anule la parte imaginaria de la impedancia del dipolo. Por lo tanto, el valor de la pulsación de resonancia se obtiene despejando $\omega$ de la ecuación:

$\boxed{Im(\omega)=0}$

Como ves, te pueden pedir la resonancia serie de cualquier dipolo $\bold Z(\omega)=Re(\omega) +j \ Im(\omega)$ , no es necesario que sea estrictamente uno formado por una serie R, L, C

Ejemplo inventado, imagina que la impedancia equivalente de un dipolo que contiene 2 resistencias, un condensador y una inductancia convenientemente conectados entre si es:

$\bold Z=\left ( R_1+\dfrac{R_2}{1+R_2^2 \ \omega^2 C^2} \right )+j \ \left ( \omega L-\dfrac{R_2^2 \ \omega C}{1+R_2^2 \ \omega^2 C^2}\right )$

Entonces la pulsación de resonancia será aquella que se obtenga despejando $\omega$ de la ecuación:

$\omega L-\dfrac{R_2^2 \ \omega C}{1+R_2^2 \ \omega^2 C^2}=0$

Si no me equivoco en las operaciones de despejar omega, la condición de resonancia serie se produce cuando la pulsación es:

$\omega_{res}=\sqrt{\dfrac{1}{L C}-\dfrac{1}{R_2^2 \ C^2}}$

Saludos.

[antonio0]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

Creo que he entendido todo. Un ultimo apunte, la formula esta de $Z= \sqrt{R^2 +(Lw)^2}$ estoy con una Resistencia R con una Inductancia (ambas en en serie) puedo añadirla también la del condensador $\frac{-1j}{cw}$ y seria un circuito de resistencia R, L y C que SOLO puedo usar esa formula para CUALQUIER combinación de elementos R L C EN SERIE.
Si hay R L serie y C paralelo al resto por ejemplo, no podría aplicar esta formula, ¿no?. Tiene que estar todo el circuito y todos sus elementos en serie para poder usarla.
Mientras que la $\dfrac{Im}{Re}=\tan \alpha$ puedo indistintamente usarla serie o paralelo con cualquier combinación
Y si, ya me di cuenta del error de la formula que $V=IZ$ y de ahí despejando, para quitar la raíz elevo Z al cuadrado.
Y en angulo de desfase, es el que obtengo al usar $Z=\frac{V}{I}$, si lo quiero pasar a la formula de $V={v}_{0} cos(wt+\alpha)$. Pero si quiero pasarlo a $I={i}_{0} cos(wt-\alpha)$ ese no es el mismo para ponerlo en la formula, ¿no?

[Alriga]

Re: Saber que elementos pueden formar una impedancia en un circuito corriente alterna

No te aprendas fórmulas, usa tus conocimientos.

Si hay una R y una L en serie sus impedancias se suman:

$\bold Z=R+j \omega L$

El módulo de un número complejo cualquiera es simplemente la aplicación del Teorema de Pitágoras:

$Z=\sqrt{Re^2+Im^2}$

Por lo tanto:

$Z=\sqrt{R^2+(\omega L)^2}$

Si hay una R, una L y una C en serie sus impedancias se suman:

$\bold Z=R+j \omega L-\dfrac{j}{\omega C}=R+j \left (\omega L-\dfrac 1{\omega C} \right )$

Ahora el modulo será:

$Z=\sqrt{R^2+\left (\omega L-\dfrac 1 {\omega C}\right )^2}$

Para el análisis detallado de un Circuito Serie RLC mira aquí: Circuito RLC serie. Potencia promedio

Si tienes cualquier otra combinación de elementos, halla primero la impedancia compleja del dipolo y a continuación el módulo mediante:

$Z=\sqrt{Re^2+Im^2}$

En cuanto al ángulo, si tienes un dipolo del que conoces

$\bold Z_a=Z_a \angle \alpha$

Lo único que puedes afirmar seguro es:

$\bold Z_a=Z \angle \alpha=\dfrac{ \bold V_a}{\bold I_a}=\dfrac{V_a \angle \beta}{I_a \angle \gamma}$

Aplicando las propiedades de los números complejos:

$\alpha =\beta - \gamma$

Y a priori no puedes decir nada más.

Ahora bien, si en el ejercicio tienes la libertad de elegir como fasor de referencia, por ejemplo:

1) La intensidad $\bold I_a=I_a \angle 0$ Entonces $\gamma=0$ y por lo tanto el ángulo de la tensión será el mismo que el de la impedancia, $\alpha =\beta$ y:

$\bold V_a =V_a \angle \alpha$

$i_a(t)=\sqrt 2 I_a \cos(\omega t)$

$v_a(t)=\sqrt 2 V_a \cos(\omega t+\alpha)$

2) En cambio, si por el contexto del ejercicio elijes como fasor de referencia la tensión en el dipolo $\bold V_a=V_a \angle 0$ Entonces $\beta=0$ y por lo tanto el ángulo de la intensidad será $\alpha =-\gamma$ , el opuesto del de la impedancia:

$\bold I_a =I_a \angle -\alpha$

$v_a(t)=\sqrt 2 V_a \cos(\omega t)$

$i_a(t)=\sqrt 2 I_a \cos(\omega t-\alpha)$

3) Si no puedes elegir como fasor de referencia ni la tensión ni la intensidad de ese dipolo, porque el enunciado te da como fasor de referencia otro que no es ninguno de estos dos, lo único que sabes conocido el ángulo de la impedancia $\alpha$ es que el ángulo de la tensión $\beta$ en el dipolo menos el ángulo de la corriente $\gamma$ en el dipolo es igual al ángulo de la impedancia $\alpha$, es decir que:

$\beta - \gamma=\alpha$

Por ejemplo, si resolviendo un circuito en el que te han dado en el enunciado un determinado fasor de referencia (que nada tiene que ver con el "dipolo a"), obtienes que la corriente y la impedancia del dipolo "a" son:

$\bold I_a=5 \angle 23^{\circ}$

Y que

$\bold Z_a=12 \angle 30^{\circ}$

Puedes calcular la tensión en el dipolo:

$\bold V_a=5 \angle 23^{\circ} \cdot 12 \angle 30^{\circ}=60 \angle 53^{\circ}$

$i_a(t)=\sqrt 2 \cdot 5 \cos(\omega t+23^{\circ})$

$v_a(t)=\sqrt 2 \cdot 60 \cos(\omega t+23^{\circ}+30^{\circ})= \sqrt 2 \cdot 60 \cos(\omega t+53^{\circ})$

Saludos.