Otras carreras DEmostración dirección campo magnético y eléctrico en una onda electromagnética

[NikolaT]

Hola chicos, estoy intentando demostrar que para una onda electromagnética los vectores de campo magnético y electrico son perpendiculares entre si y a su vez, perpendiculares a la dirección de desplazamiento. Tengo esto:

Partiendo de las ecuaciones de Maxwell para el espacio libre:

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \cdot \vec{E} = 0$

$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$

$\nabla \times B = \varepsilon_{0} \mu_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$

Además, teniendo en cuenta que puedo expresar tanto los campos magnético como eléctrico como: $E = E_{0}{e}^i{kx+\omega t}$ y tenidendo en cuenta que:

$\nabla \cdot E = ik \cdot E$
$\nabla \cdot E = ik \times E$

Aplicando esto en las ecuaciones de Maxwell tengo que:

$\nabla \cdot E = ik \cdot E = 0$
$\nabla \cdot B = ik \cdot B = 0$

Lo que implica que tanto B, como E son perpendiculares al vector de desplazamiento k, pero ¿Cómo puedo demostrar que tanto E como B también son perpendiculares entre si?

Si aplico la misma propiedad, para los productos cruz, llelgo a la conclusión que $E = cB$

Saludos y muchas gracias de antemano.