2o ciclo Distribución de densidad de carga

[elmecama]

Hola. Agradezco una ayuda para resolver este problema. Necesito encontrar la función de densidad de carga de una espira ascendente (hélice) de radio r y paso d.
Sé que lo que hay que hacer es plantear:

$d\rho(\vec {r} )= dq \delta^3(\vec{r}-\vec{r}') \Rightarrow \rho(\vec {r}) = \int \lambda(t) \delta^3 (\vec{r}-\vec{r}'(t))dt$

donde

$\rho (\vec{r})$ es la distribución de densidad de carga
$\lambda$ es la densidad lineal de carga de la espira
$\vec {r'}$ es el vector posición sobre algún punto en la espira (va a estar dado por la parametrización de la espira)
$t$ es el parámetro de la espira
$\vec {r}$ es un vector en cualquier punto del espacio
$\delta$ es la función delta de dirac.

Lo que hay que hacer ahora es encontrar una parametrización para la espira. Creo que es más fácil en coordenadas cilíndricas, que quedaría:

$\phi = \phi '$
$\varrho = r$
$z = ?$

Luego, se calcula la integral sabiendo las propiedades de la delta de dirac, se comprueba que la integral en todo el espacio dé la carga total, y se corrige el primer resultado si no es así.

Como verán, no se me ocurre una forma conveniente de expresar a z como función de algún parámetro... si alguien sabe cómo resolver esto lo agradezco mucho.

[Al2000]

Re: Distribución de densidad de carga

La posición $z$ sobre la hélice aumenta en el paso $d$ cuando el ángulo completa un giro alrededor del eje. Dependiendo de algún posible valor inicial, la coordenada $z$ vendría dada simplemente por $\dst z = \frac d {2 \pi } \phi$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[elmecama]

Re: Distribución de densidad de carga

Gracias. Igual me surge otra duda al continuar con el ejercicio. Haciendo $z=\frac{d}{2\pi}\phi'$ tengo:

$\rho= \lambda \delta(\varrho-r)\int_{0}^{+\infty}\delta(\phi-\phi')\delta(z-\frac{d}{2\pi}\phi')d\phi'$

Ahora mi duda es cómo hallar la integral, porque para una sola delta quedaría:

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\delta(x-a)dx=f(a)$

pero en este caso al tener una multiplicación de dos deltas no sé cómo quedaría, además de que éstas no están evaluadas en valores fijos, sino en funciones de $\phi'$.

Se me ocurrió que podría hacer:

$\int_{0}^{+\infty}\delta(\phi-\phi')\delta(z-\frac{d}{2\pi}\phi')d\phi' = \delta(z-\frac{d}{2\pi})$

pero no sé si esto está bien...