1r ciclo Tres esferas cargadas en equilibrio suspendidas de un hilo

[Enphym]

¡Hola a todos, espero estén muy bien! Hoy les comparto y solicito una mano con este ejercicio:

ENUNCIADO:

Tres pequeñas esferas idénticas de masa $m$ están suspendidas de un punto común por hilos de masa despreciable e igual longitud $l$.
Una carga $Q$ se divide en partes iguales entre las esferas, las cuales alcanzan el equilibrio en los vértices de un triángulo equilátero horizontal cuyos lados son $d$.
Demuestre que:

${Q}^{2}=12\pi{\epsilon}_{0}mg{d}^{3}{\left[ {l}^{2}-\frac{{d}^{2}}{3} \right]}^{-1/2}$

donde $g =$ aceleración debida a la gravedad.

MI INTENTO:



Componente en X:

$\sum_{F}_{x}=0$

${F}_{e} + {F}_{e}\cos\frac{\pi}{3} - T\cos\alpha \cos\frac{\pi}{6}=0$

${F}_{e} + {F}_{e}.\frac{1}{2} - T\cos\alpha.\frac{\sqrt{3}}{2}=0$

$\frac{3}{2}{F}_{e} - \frac{\sqrt{3}}{2}T\cos\alpha=0$

Componente en Y:

$\sum_{F}_{y}=0$

$Tcos\alpha \sin\frac{\pi}{6} - {F}_{e}\sin\frac{\pi}{3} -=0$

$\frac{1}{2}Tcos\alpha - \frac{\sqrt{3}}{2}{F}_{e} =0$

Componente en Z:

$\sum_{F}_{z}=0$

$T\sin\alpha - mg = 0$

Ahora bien. Decidí basarme en un ejercicio análogo con dos cargas suspendidas tambien de un hilo. Allí, se igualaban las tensiones y podía resolver y encontrar una expresión para ${Q}^{2}$. El asunto aquí, es que no sé que hacer porque ¡tengo 3 ecuaciones con la $T$!. Lo otro, es que no sé si tengo un error, porque aunque fui cuidadoso, tengo una duda con la expresión que obtendría para $T$ de la sumatoria de fuerzas en x y y:

En x:

$T = \frac{3}{\sqrt{3}}\frac{{F}_{e}}{\cos\alpha}$

En y:

$T = \frac{\sqrt{3}Fe}{\cos\alpha}$

A mi me huele a inconsistencia, pero de ser así, no sé qué estoy considerando mal.
Y otro punto en que estoy estancado es que no se como definir $\cos\alpha, \sin\alpha$ ¿alguna idea?

De antemano, ¡mil gracias!

[Al2000]

Re: Tres esferas cargadas en equilibrio suspendidas de un hilo

Ahora no tengo tiempo de mirar en detalle lo que hiciste, pero me pareciera que hay un error en lo que pretendes demostrar. Por supuesto que puedo estar equivocado, pero mi resultado (hace muchos años) discrepa con el valor que pones.

Por favor, échale un ojo al hilo Par de problemas y si consigues que hay error no dejes de hacérmelo notar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

- - - Actualizado - - -

Actualizo mi mensaje anterior para hacerte un par de comentarios.

-- Revisé los cálculos en el mensaje que te hago referencia y no consigo ningún error. Estoy convencido de que la constante "12" que aparece en la expresión a demostrar es incorrecta y que vale "$4/\sqrt 3 = 4 \sqrt 3/3$".

-- No veo error en los cálculos que pones si (es un gran "si") el ángulo alfa es el ángulo comprendido entre la cuerda y su proyección en el plano XY. Así lo tratas, pero en el dibujo lo muestras como si fuese el ángulo entre la cuerda y el eje X. En tu dibujo sería el ángulo subtendido entre la cuerda y la línea punteada que conecta la posición de la esferita y el centro del triángulo equilátero que forman las tres esferitas.

-- No creo que te hayas detenido mucho a mirar la simetría del problema a fin de aprovecharla para simplificar los cálculos. Si pones tu origen de coordenadas en el centro del triángulo que forman las esferitas y lo orientas de manera que cuelguen del eje Z y una bolita caiga en el eje X, entonces las otras dos esferitas quedan colocadas simétricamente respecto de X y garantizas que la suma de fuerzas en Y es cero.