2o ciclo Efecto de tener partículas discretas sobre la energía del campo electromagnético

[Sergio_P]

En electrodinámica clásica la expresión de la densidad de energía del campo electromagnético (EM) es:

u = (ε/2)E² + (μ/2)H²

Ahora bien, en electrodinámica clásica se considera que tenemos una densidad de carga libre $\rho$(r) de manera que toda la densidad de carga es afectada por el campo EM total que haya en cada punto. Por total me refiero a que el campo es independiente de la carga que lo haya generado.

No obstante en la naturaleza la carga se agrupa en partículas discretas, electrones y protones. Estas partículas están caracterizadas por una función de onda $\psi$(r) a partir de la cual se pueden obtener la densidad de probabilidad y corriente de probabilidad, magnitudes que pueden asimilarse a la densidad de carga y la corriente eléctrica.

La característica que quiero remarcar es que las partículas discretas no se ven afectadas por el campo electromagnético que ellas mismas generan y ello supone una diferencia respecto al electromagnetismo clásico, en el cual toda densidad de carga es afectada por el campo EM total (es decir, la fuerza de Lorentz que sufre la densidad de carga en cualquier sitio se debe al campo total, no hay que excluir el campo que hace "tu partícula").

La prueba de lo anterior se puede ver en la mecánica cuántica, por ejemplo, el Hamiltoniano del electrón del átomo de hidrógeno tiene como potencial el potencial que crea el protón pero no incluye el del electrón, que obviamente aunque no esté radicado en el centro, también genera un potencial.

De la característica anterior, resulta que el esfuerzo necesario para "juntar" la densidad de carga de una partícula es cero, ya que al contrario que si trajéramos "cargas libres", hemos dicho que la carga de una partícula no hace fuerza alguna sobre si misma.

La energía del campo EM crece o decrece en función del trabajo que intercambia con las cargas, si dos cargas del mismo signo se acercan, su energía cinética decrecerá y dicha energía será transferida al campo EM, de forma que se conserve la energía total del sistema, no obstante si hablamos de acercar la densidad de carga de una partícula con carga total e, dado que el campo que genera no le afecta a si misma, no se hará trabajo alguno y la energía del campo EM no crecerá por el hecho que juntemos la densidad de carga.

Esta argumentación sugiere la necesidad de introducir correcciones al la densidad de energía del campo EM. Querría saber si alguien sabe algo acerca de esta problemática. Yo tengo una idea al respecto pero es personal por lo que entiendo que no debe ser tratada en este foro.


Un saludo,
Sergio Prats

[Julián]

Re: Efecto de tener partículas discretas sobre la energía del campo electromagnético

Espero que no sea demasiado tarde la respuesta.

La característica que quiero remarcar es que las partículas discretas no se ven afectadas por el campo electromagnético que ellas mismas generan y ello supone una diferencia respecto al electromagnetismo clásico, en el cual toda densidad de carga es afectada por el campo EM total (es decir, la fuerza de Lorentz que sufre la densidad de carga en cualquier sitio se debe al campo total, no hay que excluir el campo que hace "tu partícula").

Desde el punto de vista clásico, una carga no interacciona con su campo eléctrico generado, lo mismo para su campo magnético, es decir, su campo electromagnético. Esto es debido a que el campo es una magnitud vectorial. Un ejemplo con 2 cargas positivas solamente para facilitar la demostración

$\dst \vec{E} = K (\frac{{q}_{1}}{{ \left\vert{} {r}_{12} \right\vert{}}^{3}} \hat{{r}_{12}} + \frac{{q}_{2}}{ {\left\vert{} {r}_{21} \right\vert{} }^{3} } \hat{{r}_{21}})$

El numerador está elevado al cubo ya que: $\dst \hat{r} = \frac{\vec{r}}{ \left\vert{} r \right\vert{} }$

como por definición los versores posición del campo son salientes a las cargas, estos son de sentido opuesto.

$\dst \vec{E} = K (\frac{{q}_{1}}{{ \left\vert{} {r}_{12} \right\vert{} }^{3}} \hat{{r}_{12}} - \frac{{q}_{2}}{ {\left\vert{} {r}_{12} \right\vert{} }^{3}} \hat{{r}_{12}})$

Pero bien, ese es el campo eléctrico total que genera ese sistema de 2 cargas y dicho campo eléctrico total es la fuerza por unidad de carga que "sentiría" una tercera carga. No es lo mismo a la fuerza eléctrica que experimentan ${q}_{1} y {q}_{2}$, la cual es:

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¿Ves la diferencia entre fuerza y campo? Lo mismo se extiende para sistemas con mayor número de cargas, pero no es tan evidente para una demostración. Para sistemas con gran número de cargas distribuidas generalmente trabajaremos con densidades de carga y la operatoira integración en vez de una sumatoria.

La prueba de lo anterior se puede ver en la mecánica cuántica, por ejemplo, el Hamiltoniano del electrón del átomo de hidrógeno tiene como potencial el potencial que crea el protón pero no incluye el del electrón, que obviamente aunque no esté radicado en el centro, también genera un potencial.

Nuevamente estás confundiendo fuerza, campo y potencia, es necesario entender dichos conceptos para poder luego implementar la mecánica cuántica o el operador hamiltoniano.
El campo es una magnitud que expresa la fuerza que experimentaría una carga de magnitud unitaria debido al sistema sobre el cual se está realizando el análisis. resaltando experimentaría y no experimenta.El potencial expresa el trabajo de dicho campo que no es lo mismo que energía ya que el potencial es la energía potencial sobre unidad de carga, algo parecido pero no igual sucede con el campo magnético. Pero no lo juntemos, ya que debes entender la diferencia entre campo fuerza y potencial.