1r ciclo Analisis para evitar el cálculo de la integral en la ley de Gauss

[Enphym]

Saludos, este es el enunciado:

ENUNCIADO
a) Un campo de densidad de flujo está dado por $\vec{{F}_{1}}=5\hat{z}$. Evaluar el flujo saliente de $\vec{{F}_{1}}$ a través de la superficie hemisférica $r=a, 0<\theta<\frac{\pi}{2}, 0<\phi<2\pi$
b) ¿Qué observación sencilla hubiera ahorrado mucho trabajo en la parte a?

MI INTENTO
Yo resolví la integral y me dió: $\psi=5\pi{a}^{2}$

Pero no sé a qué observación se refiere. ¿Alguien tiene alguna idea?

Gracias

[Al2000]

Re: Analisis para evitar el cálculo de la integral en la ley de Gauss

El campo $\vec F_1$ es constante, luego el flujo se reduce a multiplicar ese campo constante por el área de la proyección de la superficie en dirección perpendicular al campo, en este caso un círculo de área $\pi a^2$.

Soporte matemático: $\dst \Phi_{F_1} = \int_S \vec F_1 \cdot d \vec S = \vec F_1 \cdot \int_S d \vec S = \vec F_1 \cdot \vec S$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[carroza]

Re: Analisis para evitar el cálculo de la integral en la ley de Gauss

Hola.

Completando lo que dice Al, fijate que la esencia del teorema de Gauss es que relaciona el flujo de un campo por una superficie cerrada, con la integral de volumen de la divergencia de ese campo.

Para el campo que tienes, que es constante, la divergencia es cero (todas sus derivadas son cero). Por tanto, el flujo a traves de cualquier superfice cerrada es cero. En tu caso, la superficie que te dan es una superficie hemiesferica, que no es cerrada, pero la puedes cerrar con cualquier superficie que te convenga.

Como Al ha hecho, lo más facil es cerrar la superficie hemiesferica con un circulo en el plano xy. Por tanto, el flujo a través de la semiesfera, mas el flujo a través del circulo que la cierra, debe ser cero.

Eso te lleva facilmente al resultado, teniendo cuidado con los signos del vector superficie.

Saludos

[Enphym]

Re: Analisis para evitar el cálculo de la integral en la ley de Gauss

, de antemano gracias. Una pregunta, si el flujo que entra es igual al que sale, decimos que el flujo neto que atraviesa la superficie es cero?. Yo creí al inicio que podía utilizar ese argumento, que el flujo que atravesaba la parte inferior de la esfera era igual al que salia por la parte superior. Aun así, no me queda muy clara la observación que me diste.

[Al2000]

Re: Analisis para evitar el cálculo de la integral en la ley de Gauss

El problema de usar ese argumento es que deberías justificar que, en este caso, el flujo entrante es igual al saliente, lo cual no es cierto en general. Tienes dos posibles formas de justificarlo: recurrir a la definición de flujo (producto escalar de dos vectores) o recurrir al teorema de la divergencia (o los dos, para lucirte).

Saludos,

$\mathcal A \ell$