2o ciclo Funcion Dieléctrica

[marcusfinix]

Hola a todos,

Primero que nada gracias por tomarse el tiempo para con este hilo, les comento...

Estoy trabajando con la expresión de la función dieléctrica

$\varepsilon(\omega) = 1 + i\frac{\sigma(\omega)}{\omega \varepsilon_{0} }$ - - - - - eq1

Pero necesito poderla ecxpresar como una resta de la forma :

$\varepsilon(\omega) = 1 - i\frac{\sigma(\omega)}{\omega \varepsilon_{0} }$ - - - - - eq2

mi problema es que no logro determinar, si esta expresión exista y sea valida, en la mayoria de los textos (que he encontrado pocos, por cierto), la expresan como una suma (eq1), y en algunos otros, si lo expresan como una resta pero la $\varepsilon(\omega)$ , no esta en función de la conductividad. como ejemplo de esto, la siguiente expresión:

$\varepsilon(\omega) = 1 - \frac{ne^{2}}{\varepsilon_{0}m\omega^{2} }$ - - - - - eq3

Y aunque es una resta (como la expresión que busco), $\varepsilon(\omega)$ , no esta en función de la conductividad.

Entiendo que la función dieléctrica, en general, es una permitividad compleja de la forma:

$\varepsilon(\omega) = \varepsilon'(\omega) \pm \varepsilon''(\omega)$

Lo que me hace pensar que eq1 y eq2 son equivalentes. Pero si realizo el mismo procedimiento para demostrar eq1 en eq2 no obtengo éesta (eq2), la verdad es que ya estoy muy confundido.


Muchas gracias!

Saludos!

[Alriga]

Re: Funcion Dieléctrica. Permitividad compleja

Normalmente en electromagnetismo para la unidad imaginaria no se usa el símbolo "i" como en matemáticas, sino que se usa $j=\sqrt{-1}$

Por lo que yo creo saber, la permitividad compleja es:

$$\boxed{\boldsymbol{\epsilon_c}=\epsilon \Big (1+\dfrac{\sigma}{j\omega \epsilon}\Big )}$$

En donde $\sigma$ es la conductividad, o sea el inverso de la resistividad $\rho$

$\sigma=\dfrac 1{\rho}$

Multiplicando y dividiendo el segundo sumando por j:

$\epsilon \Big (1+\dfrac{\sigma}{j\omega \epsilon}\Big )=\epsilon \Big (1+\dfrac{j\sigma}{j \cdot j\omega \epsilon}\Big )$

$j \cdot j=-1$ por lo tanto

$$\boxed{\boldsymbol{\epsilon_c}=\epsilon \Big (1-j\dfrac{\sigma}{\omega \epsilon}\Big )}$$

Aunque la expresión (1) es correcta, la expresión (2) es la más habitual en los libros.

Cuando $\dfrac{\sigma}{\omega \epsilon} >> 1$ el medio es conductor a esa frecuencia, ( $\omega=2 \pi f$ )

Cuando $\dfrac{\sigma}{\omega \epsilon} << 1$ el medio es dieléctrico a esa frecuencia

Evidentemente también es correcta:

$$\boxed{\boldsymbol{\epsilon_c}=\epsilon -j\dfrac{\sigma}{\omega}}$$

La permitividad compleja aparece en la expresión:

$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol H=j \ \omega \ \boldsymbol{\epsilon_c} \ \boldsymbol E$

Saludos.

[marcusfinix]

Re: Funcion Dieléctrica

Muchas gracias por la respuesta, logre aclarar la duda, tu respuesta es sumamente precisa y puntual, muchas gracias

- - - Actualizado - - -

A manera de proifundizar en el tema y dando respuesta al hilo que yo mismo cree, les dejo este procediemiento que realice en colaboración con un compañero....

La expresión de la funcion dielectrica surge de dar solución a la ecuacion de movimiento de un electron en el plasma, es decir:

$m \frac{\partial^{2} \vec{x}}{\partial t^{2}} + m\gamma \frac{\partial \vec{x}}{\partial t} = -e\vec{E}$ - - - - - eq1

Cuya solución determinara la forma de la función dielectrica, es decir:

Si proponemos como solucion:

$\vec{x} = x_{0}e^{-i \omega t}$ - - - - - eq2

Entonces realizando el desarrollo para demostrar la función dielectrica (que en cualquier libro de plasmonica viene dicho desarrollo), llegaremos a la siguiente expresión:

$\varepsilon(\omega) = 1 + i \frac{\sigma(\omega)}{\varepsilon_{0} \omega}$

Por otro lado, si para la ecuacion de movimiento del electron en el plasma (eq1) proponemos como solución:

$\vec{x} = x_{0}e^{i \omega t}$ - - - - - eq4

Entonces llegamos al aexpresión que estaba buscando, la función dieléctrica como una resta, es decir:

$\varepsilon(\omega) = 1 - i \frac{\sigma(\omega)}{\varepsilon_{0} \omega}$

De que depende la solución o el signo usado en ella?. Pues del plano de referencia que se este tomando, asi como de los objetivos que se busquen en un desarrollo matemático.

Con el plano de referencia me refiero a como estamos "viendo" la onda electromagnetica, como una onda que va.... o como una onda que viene...?

De ello depende el signo que se empleara en la solución (eq2 y eq4).

Bueno espero que en un futuro esto sea de utilidad para alguien como yo se encontro en serios aprietos por semanas, todo estaba en un bendito signo, el signo!!!

Saludos a todos!!!