Divulgación Integral de línea

[Alofre]

Hola, agradecería ayuda para entender el concepto de integral de línea, sobre todo desde un punto de vista conceptual y aplicado a la forma integral de las ecuaciones de Maxwell.
Muchas gracias!

[Syik]

Re: Integral de línea

Voy a intentar explicarte cómo lo entiendo yo, aunque me temo que es complicado hacerlo. Esta frase que voy a escribir está muy mal dicha, pero creo que así es como lo comprendo, y, es que la integral de línea es algo así como una medida de que cantidad del vector apoya al recorrido sobre el que se hace. Para que lo entiendas mejor, físicamente la integral de línea de una fuerza se identifica con el trabajo realizado por la misma, y si te fijas, al ser un producto escalar, depende del coseno del ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento, es decir, a mayor ángulo, menor trabajo y a menor ángulo mayor trabajo (para 0º el coseno es 1 y para 90 es 0), de modo que es, repito en cierto modo, una medida de cuanto esfuerzo realiza la fuerza en dicha trayectoria.

Esto llevado a las ecuaciones de Maxwell se aplica en las leyes de Faraday y Ampere. En la primera, la integral de línea (cerrada) del campo eléctrico es igual a menos la variación con el tiempo del flujo magnético, es decir, que cuando el campo magnético varía se produce un campo eléctrico que no es conservativo pues hablamos de una trayectoria cerrada cuando la integral de línea es distinta de 0 (la integral de línea del campo eléctrico es el potencial).
$\dst \oint \vec{E}d\vec{r}=-\frac{d}{dt }\int \vec{B}d\vec{A}$

En la ley de Ampere (generalizada) es algo semejante, pues muestra que una corriente eléctrica o una variación temporal del flujo eléctrico provocan un campo magnético de igual manera:
$\dst \oint \vec{B}d\vec{r}={\mu}_{0}I+{\mu}_{0}{\epsilon}_{0}\frac{d}{dt}\int \vec{E}d\vec{A}$

No obstante, si deseas entender mejor las ecuaciones de Maxwell te aconsejo aprender los conceptos de divergencia y rotacional para verlas en forma diferencial, lo entenderás todo mucho mejor.

Espero haber sido de ayuda, un saludo.

[Alriga]

Re: Integral de línea

... así es como lo comprendo, y, es que la integral de línea es algo así como una medida de que cantidad del vector apoya al recorrido sobre el que se hace. Para que lo entiendas mejor, físicamente la integral de línea de una fuerza se identifica con el trabajo realizado por la misma, y si te fijas, al ser un producto escalar, depende del coseno del ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento, es decir, a mayor ángulo, menor trabajo y a menor ángulo mayor trabajo (para 0º el coseno es 1 y para 90 es 0), de modo que es, repito en cierto modo, una medida de cuanto esfuerzo realiza la fuerza en dicha trayectoria...

Redundando un poco más en la correcta idea intuitiva de Syik: La circulación desde un punto hasta otro de un campo vectorial siguiendo una determinada trayectoria mide la suma de “cuánto nos hemos aprovechado de lo que nuestra trayectoria ha ido coincidiendo” en dirección y sentido con el campo.

Si en un punto tenemos un valor arbitrario del campo $\vec F$ y nos movemos en una determinada dirección infinitesimal $d\vec s$ para saber qué parte del vector F “se aprovecha” en la dirección del vector diferencial de espacio, hacemos el producto escalar

$\vec F \cdot d\vec s=F \cdot ds \cdot \cos \theta$

Recuerda que $F \cdot \cos \theta$ es la proyección de F en la dirección de ds.

La suma de los infinitos ds en los que dividimos la trayectoria equivalen a realizar una integral.

El ejemplo clásico más conocido es el del trabajo, que es la circulación del vector fuerza a lo largo de una trayectoria T:

$W=\dst \int_T \vec F \cdot d\vec s$

Que mide cuanto "nos hemos aprovechado" del campo $\vec F$ al completar la trayectoria T

Ya ves que es una explicación intuitiva no rigurosa, pero entiendo que eso es lo que pedías.

Saludos.

[Alofre]

Re: Integral de línea

Eso es lo que precisaba, muchas gracias. Creo que es muy importante comprender las matemáticas también conceptualmente.