1r ciclo Coeficientes de capacidades

[unoonox]

Buenas, leo el siguiente ejercicio en el marco de los conductores:

Considere dos conductores en vacío. Los coeficientes de la matriz de capacidad del conjunto de dos conductores son $C_{11}, C_{12} = C_{21} y C_{22}$. Calcule la capacidad del condensador que se puede formar con los dos conductores en términos de C11, C12 y C22.

Sinceramente no sé qué tengo que hacer, ni siquiera por dónde empezar. Agradecería un poco de orientación para sacarlo.

Gracias.

[Al2000]

Re: Coeficientes de capacidades

En el artículo de la Wikipedia Capacitance, puedes leer en inglés sobre la Capacitance matrix.

Espero te sirva. Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Re: Coeficientes de capacidades

Yo tengo el tema muy olvidado, pero creo que se podría hacer así:

Si $q_1$ y $v_1$ son respectivamente la carga y el potencial en el conductor 1 mientras que $q_2$ y $v_2$ son respectivamente la carga y el potencial en el conductor 2, entiendo que los coeficientes de la matriz de capacidad cumplen:

$$q_1=c_{11} \ v_1+c_{12} \ v_2$$

$$q_2=c_{12} \ v_1+c_{22} \ v_2$$

Esto es una ecuación matricial

$\{ Q \}=[ \ C \ ]\{V \}$

Hallamos la matriz inversa de la matriz de capacidad [C] para despejar $v_1$ y $v_2$

$\{ V \}=[ \ C \ ]^{-1}\{ Q \}$

Llamo $d$ al determinante de la matriz [C]

$d=c_{11}c_{22}-c_{12}^2$

Con ello me sale:

$$v_1=\dfrac 1 d \ (c_{22} \ q_1-c_{12} \ q_2)$$

$$v_2=\dfrac 1 d \ (-c_{12} \ q_1+c_{11} \ q_2)$$

Yo lo he hecho mediante la matriz inversa, pero si tú lo prefieres, puedes despejar "a pelo" $v_1$ y $v_2$ del sistema de ecuaciones (1) (2), o usar la Regla de Cramer,... te ha de salir lo mismo.

En un condensador se cumple $q_1=-q_2=Q$ por lo tanto:

$v_1=\dfrac{c_{22}+c_{12}}{d} \ Q$

$v_2=-\dfrac{c_{11}+c_{12}}{d} \ Q$

La tensión en el condensador es $V=v_1-v_2$ por lo que restando las dos últimas ecuaciones:

$V=\dfrac{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}{d} \ Q$

Recordar que:

$d=c_{11}c_{22}-c_{12}^2$

La capacidad buscada será el cociente entre Q y V

$C=\dfrac Q V$

$$C=\dfrac{ c_{11}c_{22}-c_{12}^2}{c_{11}+c_{22}+2c_{12}}$$

Repásalo todo, saludos.