1r ciclo Calculo de campo eléctrico en un punto

[antonio0]

Tengo el siguiente problema: Dos cargas puntuales q1y q2están situadas en los vértices de un cuadrado delado L=1.5 m siendo el valor de q2= 3 μC.
a)Qué valor debe tener la carga q1 para que el potencial creado por ambas cargas en el vértice A sea nulo?
b)Si coloca en el vértice A una tercera carga puntual q3 igual a q2 ¿cuál es el campo eléctrico creado por las tres cargas en el punto B?.


El apartado a) ya lo he calculado yo igualando los voltajes a 0 y despejando la carga q2 con $K\frac{q1}{ d} =-K\frac{q2}{ L}$ (siendo d la diagonal) y la carga da $q1=-2,12*{10}^{-6 }C$

En el apartado b) es donde tengo el problema. Tengo que calcular el campo en el punto B de las cargas q1, q2 y q3 donde Etotal=E1 + E2 + E3
q1 tiene componentes i j.
q2 tiene componente j.
q3 tiene componente i.

Utilizo la formula E= K$\frac{q1}{ {d}^{2 }}$ (-cos(45)i - sen(45)j) siendo d la diagonal, para calcular el campo de q1 y para q2 y q3 de igual forma pero sin el angulo que forma y cambiando la d por L y luego sumando componentes i por un lado y j por el otro lado pero no consigo llegar al resultado correcto de $9 *{10}^{3 }(i+j) N/C$ .
¿Estaría bien esa forma de realizarlo o lo estoy calculando mal? He revisado las cuentas y todo me cuadra correctamente y no encuentro fallos.

[Richard R Richard]

Re: Calculo de campo eléctrico en un punto

Según lo que relatas parece estar bien, yo llego a

$\cancel{\vec E=\dfrac{KQ_1}{4L^2}\left (-3\sqrt {2} \,\vec i+(4-\sqrt 2)\vec j \right )}$

errado pense que la carga repetida era igual al la obetenida en el punto a



el resultado correcto es
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Alriga]

Re: Calculo de campo eléctrico en un punto

El apartado a) está bien, sale $q_1=2.1213 \ \mu C$ , para el apartado b) hay que sumar el campo generado por cada carga, que se puede calcular como

$\vec E_n=K \ \dfrac{q_n}{r_n^3} \ \vec r_n$ para n=1, 2, 3

Sumando las contribuciones de q1, q2 y q3:

$\dst \vec E=\sum_{n=1}^3 \vec E_n$

• q1 = -2.1213 uC ubicada en (0, 0)
• q2 = +3 uC ubicada en (1.5, 0)
• q3 = +3 uC ubicada en (0, 1.5)

El campo en el punto B(1.5, 1.5) será:

$\vec E=K\left [\dfrac{\notcien{-2.1213}{-6}}{(\sqrt 2 \cdot 1.5)^3} (1.5 \ i+1.5 \ j)+\dfrac{\notcien{3}{-6}}{1.5^3}(0 \ i+ 1.5 \ j)+ \dfrac{\notcien{3}{-6}}{1.5^3}(1.5 \ i+0 \ j) \right ]$

$\vec E=\notcien{9}{9} \left [ \left ( \dfrac{\notcien{3}{-6}}{1.5^2}-\dfrac{\notcien{2.1213}{-6}}{\sqrt{2^3} \cdot 1.5^2}\right ) i + \left ( \dfrac{\notcien{3}{-6}}{1.5^2}-\dfrac{\notcien{2.1213}{-6}}{\sqrt{2^3} \cdot 1.5^2}\right ) j\right ]$

$\vec E=\notcien{9}{9} (10^{-6} \ i + 10^{-6} \ j)= 9000 \ (i+j)$ V/m

Naturalmente es lo mismo aplicar:

$\vec E_n=K \ \dfrac{q_n}{r_n^2} \ \hat r_n$

Sale:

$\vec E=K\left [\dfrac{\notcien{-2.1213}{-6}}{(\sqrt 2 \cdot 1.5)^2} (\dfrac i{\sqrt 2}+ \dfrac j{\sqrt 2})+\dfrac{\notcien{3}{-6}}{1.5^2}(0 \ i+j)+ \dfrac{\notcien{3}{-6}}{1.5^2}(i+0 \ j) \right ]$

Que conduce a la misma solución

Saludos.

[antonio0]

Re: Calculo de campo eléctrico en un punto

Tenia el fallo en seno y cosenos. Se obtiene el angulo y es en grados decimales el calcularlo, ¿no?
Tengo otra pregunta. La primera forma de calcularlo que has empleado de $E_n=K \ \dfrac{q_n}{r_n^3} \ \vec r_n$ ¿es extrapolable a otros casos, sea cual sea su angulo? Por que ell 1,5 ese que pones en los i j es porque en vez de tomar una circunferencia de radio uno para los senos y cosenos la tomas de 1,5 y ya no es necesario calcular los senos y cosenos? Solo es esa la diferencia de calculo con respecto a la segunda y que va elevado al cubo.

[Alriga]

Re: Calculo de campo eléctrico en un punto

... La primera forma de calcularlo que has empleado de $E_n=K \ \dfrac{q_n}{r_n^3} \ \vec r_n$ ¿es extrapolable a otros casos, sea cual sea su angulo?

Sí se puede utilizar siempre, mira la demostración, partiendo de:

$\vec E=K \ \dfrac{q}{r^2} \ \hat r$

Recordando que el vector unitario en la dirección de $\vec r$es:

$\hat r=\dfrac{\vec r}{r}$

Sustituyendo:

$\vec E=K \ \dfrac{q}{r^2} \ \hat r=K \ \dfrac{q}{r^2} \ \dfrac{\vec r}{r}=K \ \dfrac{q}{r^3} \ \vec r$

… Porque el 1,5 ese que pones en los i, j es porque en vez de tomar una circunferencia de radio uno para los senos y cosenos la tomas de 1,5 y ya no es necesario calcular los senos y cosenos?...

No uso circunferencia ni senos ni cosenos, lo que hago es álgebra vectorial en coordenadas cartesianas. Si tenemos una carga $q_1$ situada en un punto 1 arbitrario del plano dado por su vector de posición

$\vec r_1=x_1 \hat i +y_1 \hat j$

Y queremos calcular el campo eléctrico que $q_1$ genera en otro punto 2 cualquiera del plano, de vector de posición

$\vec r_2=x_2 \hat i +y_2 \hat j$

Lo más sencillo es aplicar

$$\boxed{\vec E=K \ \dfrac{q_1}{r_{12}^3} \ \vec r_{12}}$$

El vector que va de 1 a 2 es según el álgebra vectorial básica:

$\vec r_{12}=\vec r_2 - \vec r_1$

$\vec r_{12}=(x_2-x_1) \hat i+ (y_2-y_1) \hat j$

Y el módulo

$r_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2}$

En tu ejercicio la carga $q_1=-2.1213 \ \mu C$ está en

$\vec r_1=0 \ \hat i +0 \ \hat j$

Y quieres calcular el campo en el punto B, de coordenadas

$\vec r_2=1.5 \ \hat i + 1.5 \ \hat j$

Por lo tanto

$\vec r_{12}=(1.5-0) \ \hat i+ (1.5-0) \ \hat j = 1.5 \ \hat i+1.5 \ \hat j$

$r_{12}=\sqrt{1.5^2+ 1.5^2}=\sqrt 2 \cdot 1.5$

Es así de fácil, sin necesidad de senos ni cosenos.

En general si sustituyes el vector y su módulo en la expresión del recuadro verás que queda:

$$\vec E=K \ \dfrac{q_1}{\left [ \sqrt{(x_2-x_1)^2+ (y_2-y_1)^2} \right ]^3} \ \Big [ (x_2-x_1) \ \hat i+ (y_2-y_1) \ \hat j \Big ]$$

Saludos.