1r ciclo Energía potencial eléctrica

[Volta]

Intento seguir la demostración de la energía potencial eléctrica, el trabajo realizado por el campo por lo que he visto en caso todas las demostraciones es:

${W}_{e }={{\int}_{\infty }}^{ a} \vec{F} \vec{dr}={{\int}_{\infty }}^{ a} F dr$

Pero ¿No debería ser ${{\int}_{\infty }}^{ a} - F dr$ Es que el vector r y F van en sentidos opuestos, por lo que el producto escalar debería ser negativo y no positivo, siguiendo esto la energía potencial a mí me da negativa en vez de positiva.

[arivasm]

Re: Energía potencial eléctrica

Entiendo que te refieres a dos cargas, $Q$ y $q$, inicialmente separadas una distancia infinita y que terminan separadas una distancia $a$. Por fijar ideas digamos que ambas cargas son del mismo signo, de manera que la fuerza entre ellas es repulsiva. Por otra parte, como se trata de una fuerza conservativa, no importa el camino que sigamos. Además, todas las posibles situaciones con las cargas infinitamente separadas son equivalentes. Por tanto, tomemos el camino directo: $q$ sigue una trayectoria rectilínea, desde el infinito hasta la posición final.

Como bien dices, los vectores $\vec F$ y $\dd\vec r$ son de sentidos opuestos. El trabajo realizado por la fuerza de Coulomb es

$W=\int_\infty^a\vec F\cdot\dd\vec r$

Continuemos ahora haciendo mal el cálculo: substituyendo la ley de Coulomb

$W=-\int_\infty^a F\dd r=-\int_\infty^a k \dfrac{Qq}{r^2}\dd r=k\dfrac{Qq}{a}$

Con lo que nos encontramos con algo extraño: la fuerza se opone en todo el trayecto al desplazamiento, pero el resultado final es un trabajo positivo.

¿Dónde está el error? En el manejo erróneo de $r$. Por una parte estamos escribiendo $\dd \vec r$ para referirnos al desplazamiento infinitesimal (que es de aproximación) y también la misma letra para referirnos a la separación entre las cargas.

Reescribamos el cálculo curándonos en salud con esta cuestión. Para ello llamemos $\dd\vec l$ al vector desplazamiento infinitesimal:

$W=\int_\infty^a\vec F\cdot\dd\vec l=-\int_\infty^a F\dd l$

¿Cómo es el módulo del vector desplazamiento infinitesimal? No es $\dd r$: en un desplazamiento infinitesimal de tamaño $\dd l$ la $r$ pasa a valer $r-\dd l$. Como consecuencia, la relación correcta es $\dd r=-\dd l$. De este modo, lo correcto es

$W=\int_\infty^a\vec F\cdot\dd\vec l=-\int_\infty^a F\dd l=\int_\infty^a F\dd r$

[Volta]

Re: Energía potencial eléctrica

Arivasm no entiendo muy bien el final ¿Por qué r=r-dl? ¿Cómo llegar a dr=-dl? Quizás un dibujo me ayude más.

[arivasm]

Re: Energía potencial eléctrica


$\dd r=r_{final}-r_{inicial}=(r-\dd l)-r=-\dd l$