Otras carreras Magnetismo en la materia

[ovichan]

Hola que tal, estoy estudiando un grado por la UNED y bueno me he topado con el magnetismo en la materia y me esta costando conceptualizar ciertas cosas. He elaborado un resumen que me gustaría que alguien pudiera verificarme si es correcto y así concretar que mi idea es correcta.

La duda principalmente trata al abordar el tema del momento dipolar magnético como un diferencial respecto a un diferencial de volumen. Y luego cuando expresan la corriente de imanación en forma diferencial, y sin embargo, para estudiar el campo magnético producido por el solenoide se deja claro que la corriente no es un elemento diferencial.

Yo he entendido que en un elemento cilindrico ferromagnetico, dentro de un solenoide, si lo dividimos en partes diferenciales de ancho $\vec{ dl }$ existirá una corriente diferencial ${dI}_{m }$ respecto a la la corriente de imanación ${I}_{m }$ , de manera que se verifique:

$\vec{M}_{disco}=\dfrac{d\vec{\mu}_{0}}{dV}=\dfrac{Ad{I}_{m}}{A\vec{dl}}=\dfrac{d{I}_{m}}{\vec{dl}}$

Entiendo que esa sería la imanación para un disco de un elemento cilindrico, por lo que para el elemento total sería:

$\vec{M}_{cilindro}=\dfrac{\vec{I}_{m}}{\vec{l}}$

Y así mismo, el elemento diferencial del cilindro o disco, se podría expresar en funcion de las corrientes atomicas de N espiras contenidas en el área de la base del cilindro, de manera que ($N$ número moleculas en una sección $A$):

$\vec{M}_{disco}=\dfrac{d{I}_{m}}{\vec{dl}}=\dfrac{N{I}_{atomica}}{\vec{dl}}$

¿Esto sería así correcto? He preguntado a mi tutor por la UNED pero no debe estar disponible ya que la materia se cerró y estoy estudiando para la extraordinaria.

Gracias de antemano.

Resumen.pdf

[Julián]

Re: Magnetismo en la materia

Yo he entendido que en un elemento cilindrico ferromagnetico, dentro de un solenoide, si lo dividimos en partes diferenciales de ancho existirá una corriente diferencial respecto a la la corriente de imanación , de manera que se verifique:

Creo que se está confundiendo las cosas. Si es posible expresar un diferencial de corriente. Por cierto, consideraré la corriente de magnetización como una simple corriente, ya que la corriente de magnitización también tiene unidades de carga sobre tiempo, si bien el modelo actual no considera que un momento dipolar atómico tiene como causa una corriente convencional sino que es debido a la orientación espacial del orbital y el espín, si es posible hacer una aproximación clásica a una espira.

Veamos:

$I = \frac{\Delta q}{\Delta t} <br />$

Si la carga es dependiente del tiempo, el cociente ${\Delta q}{\Delta t}$, deja de ser una constante y es posible hacer una análisis punto a punto.

$I = {lim}_{\Delta t \to 0} \frac{ q ( t + \Delta t) - q(t)}{\Delta t} <br />$

Llendo al caso de la corriente de magnetización:

$\mu = IA$

Y es por esto que la imantanción del material es:

$\vec{M } = n \vec{\mu} = n I A = \frac{N I}{l}$

Los dipolos magnéticos de un material están cuantizados en números enteros. De allí la magnetización total es el producto de $\mu$ por $n$, donde n es la densidad de dipolos por unidad de volumen.

Por lo que si los dipolos están cuantizados, cada uno contribuye en el valor de la corriente en el volumen $A L$

$\dst M = \frac{1}{V}{\sum}_{i=0}^{N} {\mu}_{i} = \frac{1}{A L}{\sum}_{i=0}^{N} {I}_{i} {A}_{i}$

N es el número de dipolos magnéticos en el volumen $V = A L$ y $A = {\sum}_{i=0}^{N}{A}_{i}$

Por lo que:

$\dst M = \frac{1}{ L}{\sum}_{i=0}^{N} {I}_{i} = \frac{I}{L}$

Donde I es la corriente total por sección A y ${I}_{i}$ el aporte de corriente de cada dipolo magnético.

En el resumen que adjuntaste toman un diferencial de longitud $dl$. Por lo que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Ves la diferencia? el diferencial corriente es la diferncia de corriente "total" (no la que aporta cada dipolo en una sección) entre 2 secciones.

Si bien en un material homogeneo el numero de dipolos puede variar en función de la sección A, solamente. Desde el punto de vista del cálculo, el diferencia es simplemente la diferencia entre la corriente de una sección menos la de la otra cuando la separación entre secciones tiende a cero. Y en un material homogeneo es una constante claro está.

[ovichan]

Re: Magnetismo en la materia

Perdón por la demora en la respuesta pero estaba trabajando.

Antetodo, gracias por tu detallada respuesta. Ok, con lo que comentas ya veo que la derivada de la Intensidad respecto al diferencial de la longitud no afecta a que la misma sea constante, al depender directamente de la cantidad de cargas por unidad de tiempo. Y además dicho diferencial responde al densidad de dipolos en un área $A$ de la base del cilindro. De hecho, lo que entiendo es que ese diferencial sólo muestra que es una parte de la intensidad total de imanación de cilindro de imanación.

En el resumen que adjuntaste toman un diferencial de longitud . Por lo que:

Aquí haces referencia al diferencial de la imanación, por lo que, entiendo que lo estas entendiendo como un elemento infinitesimal del cilindro ¿no es así?

Lo que me parece curioso es que haga esta igualdad $nI =M$, pero mi duda surge si $M$ hace referencia a $\dfrac{dI}{dl}$ o realmente al estar realizando una analogía con el solenoide sería $M=\dfrac{I}{l}$. ¿Esto es lo que se pretende?

Y ya por último, si $dM=\dfrac{dI}{dl}$, si integro esta expresión entre y $l$, ¿debería llegar a esta expresión: $M=\dfrac{I}{l}$, o a esta: $M=\dfrac{NI}{l}$? Es que si es la primera, no soy capaz de llegar a ese resultado. Si pudieras ilustrarme te lo agradecería. Si fuese la segunda, entonces en el resumen habría una parte errónea.

Si integro esa expresión $M=\displaystyle\int_{l}^{0}dM=\int_{l}^{0}\dfrac{dI}{dl}=\int_{l}^{0}\dfrac{I_{m}n}{dl}=\int_{l}^{0}\dfrac{{I_{m}N}}{dl^{2}}=I_{m}N\int_{l}^{0}\dfrac{1}{dl^{2}}=\dfrac{I_{m}N}{l}=nI_{m}=M$. ¿Este sería el calculo que me permite igualar el resultado de un solenoide con la imanación.

Si es así, entonces la expresión $M=\dfrac{I}{l}$ no sería correcta, ¿no?

¿Usted daría como correcto ese resumen?

Gracias nuevamente.

[Julián]

Re: Magnetismo en la materia

No sé de donde salió ese diferencial, quizás porque quise escribir ${M}_{d}$ como en el texto del resumen o no me di cuenta cuando lo escribí. Perdón por eso, no revicé el texto antes de postearlo.

Es:
$\dst M = \frac{d I}{d l} = {lim}_{\Delta l \to 0} \frac{ I(l + \Delta l ) - I(l)}{\Delta l}<br />$

En caso contrario no seguiría el concepto de diferencial $dy = f(x) dx$.

Ahora sí:

¿Ves la diferencia? el diferencial corriente es la diferncia de corriente "total" (no la que aporta cada dipolo en una sección) entre 2 secciones.

Si bien en un material homogeneo el numero de dipolos puede variar en función de la sección A, solamente. Desde el punto de vista del cálculo, el diferencia es simplemente la diferencia entre la corriente de una sección menos la de la otra cuando la separación entre secciones tiende a cero. Y en un material homogeneo es una constante claro está.

Como se considera que el nucleo de la espira es homogeneo y de la misma sección a lo largo de toda su longitud, entonces I no depende de la longitud, por lo que:

$\dst M =\frac{dI}{dl} = \frac{ A dI }{A dl} = \frac{d \mu}{dV}$

Tal cual como lo puedes ver acá: https://es.wikipedia.org/wiki/Magnetizaci%C3%B3n

Pero ese dI es la corriente total, no la contribución de cada átomo (el texto llama a I ${I}_{m}$ y a ${I}_{i}$ llama ${I}_{atomica}$), por lo que:

$\dst I = n {I}_{i}$

$\dst \mu = n {\mu}_{i}$ Donde ${\mu}_{i}$ es el dipolo magnético de cada átomo.

Si quieres expresar M mediante la contribución de cada dipolo magnético:

$\dst M =\frac{dI}{dl} = \frac{ n d{I}_{i} A}{A dl} = \frac{n d {\mu}_{i}}{dV}$

[ovichan]

Re: Magnetismo en la materia

Ok. Y si quisiéramos calcular la imanacion del cilindro, como lo calcularíamos? En definitiva, como se deduce que $nI=M$.

Las contribuciones de los dipolos lo entiendo, pero se distinguen tres corrientes: la atómica, la que produce la aportación total de dipolos en un segmento de volumen dV, y la del cilindro que sería la corriente de imanacion $I_{m}$ para un volumen V.

No no sé si me estoy explicando mal y no puedo dar a entender la naturaleza de mi duda. Si pudieras responder a las otras cuestiones del anterior post te lo agradecería. Un saludo.

[Julián]

Re: Magnetismo en la materia

Creo que ya sé por donde viene la mano. Pensé que era con respecto a los dipolos y la corriente en la sección dl. Por lo que habías dicho:

Yo he entendido que en un elemento cilindrico ferromagnetico, dentro de un solenoide, si lo dividimos en partes diferenciales de ancho existirá una corriente diferencial respecto a la la corriente de imanación , de manera que se verifique:

Lo siguiente ya lo tienes claro

$M = \frac{dI}{dl}$

Pues si ya conoces dI, puedes integrar:

$I = {\int}_{0}^{L} \frac{dI}{dl} dl ={\int}_{0}^{L} M dl = M L$

$M = I / L<br />$

I es la corriente total, y no el diferencial, dI. M es constante en todo el material. Por lo que no varía. Esto sigue a lo que comenté anteriormente.

Pero está faltando algo, sin un campo magnético externo $H$ aplicado en el material, los dipolos atómicos no están alineados por lo que $M = 0$ y no existe ninguna corriente por sección dI. Oviamente dejando de lado la imantanción remanente.

Para aplicar un campo magntico externo, en el caso del selenoide es haciendo circular corriente por las espiras del conductor.

$\dst B = \mu H = \frac{\mu {I}_{E} N }{L}$

N es el número de espiras conductoras y L el largo del selenoide. y llamé ${I}_{E}$ a la corriente que circula por las espiras del conductor (el cobre), por eso E de externa

$\dst H = \frac{ N {I}_{E} }{L}$

Ahora bien, la relación entre H y M es: (donde X es la suceptibilidad magnética)

$X H = M$

$\dst X \frac{ N {I}_{E} }{L} = \frac{ N {I}_{M} }{L}$

La suceptibilidad es adimensional, es por esto que en el cálculo se agrega N (número de espiras) al miembro de la derecha pero se entiende que es para hacer una correlación.

De esta manera tenemos que:

$\dst <br /> \frac{ N {I}_{M} }{L} = M$

e $I = N {I}_{M}$ donde esta I es de $\dst I = {\int}_{0}^{L} \frac{dI}{dl} dl ={\int}_{0}^{L} M dl = M L$

¿Por qué se trabaja con ${I}_{M}$ y no con $I$?. Pues es que se debe considerar el número de espiras y esto a mi entender es por simplicidad, ya que siempre se parte de H y se obtiene M a través de la suceptibilidad magnética. Se considera que la $M$ es debido a la disposición espacial de los orbitales y el espín y quizás la confusión es cuando se intenta incluir una corriente magnetizante.

De allí las 3 corrientes que dices ${I}_{i}$ , $I$ e ${I}_{M}$.

Pero desde mi punto de vista, si se considera efectivamente real la corriente magnetizante. Fisicamente tenemos ${I}_{i}$ y $I$. ¿por qué? Pues porque si se define una corriente magnétizante que tiene como fuente el dipolo magnético atómico, no se pude definir 3 corrientes diferentes.

$dI$ es la suma de ${I}_{i}$ es una sección. Si se considera todo el selenoide de longitud L, hay que integrar $M dl$ para obtener $I$, que es la corriente magnetizante total en el nucleo. Luego la cantidad de espiras sale de relacionar H y M, ya que la cantidad de espiras no está ni de broma relacionado con la cantidad de secciones A, separadas por un $dl$. ¿se entiende? Creo que luego la física cuántica sacó de apuro el inventar esta corriente magnetizante.

[ovichan]

Re: Magnetismo en la materia

Bárbaro!!!! Ahora si entendí, me faltaba determinar la integral [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] que imagino que era porque adolecía de la comprensión o que subyace un problema de entendimiento del cálculo.

Muchas gracias.

- - - Actualizado - - -

Luego la cantidad de espiras sale de relacionar H y M, ya que la cantidad de espiras no está ni de broma relacionado con la cantidad de secciones A, separadas por un $dl$. ¿se entiende? Creo que luego la física cuántica sacó de apuro el inventar esta corriente magnetizante.

Si me permite un último inciso, si elegiesemos unos $dl$ lo suficientemente pequeños para que coincidiesen con las $N$ espiras del solenoide, entonces tendríamos un $I_{m}$ similar a la corriente que circula por cada espira de solenoide $I_{e}$, ya no me refiero en modulo que imagino y por lógica debe ser menor. Porque entiendo que en su explicación ($\dst X \frac{ N {I}_{E} }{L} = \frac{ N {I}_{M} }{L}$ ) $I_{m}$ es la corriente de imanación por unidad de longitud, o por el contrario, ¿se está refiriendo a la del núcleo total? Es que yo estaba asociando que $dI_{m}$ es similar a la corriente de una espira del solenoide.

Por lo tanto, cuando se iguala: $\dfrac{NI_{e}}{l}=M=\dfrac{I_{m}}{l}$. Entiendo que está relacionando la corriente que circula por cada espira $I_{e}$ del solenoide, con una corriente ficticia $I_{m}$ que correspondería en magnitud a la que circularía por una espira del solenoide. ¿Esto es así?

${B}_{nucleo}=\mu_{0}nI_{e}=\mu_{0} \dfrac{dNI_{e}}{dl}=\mu_{0} \dfrac{dI_{m}}{dl} \Rightarrow dNI_{e}=dI_{m}$

Perdone que le moleste nuevamente, pero creí que lo tenía claro, pero cuanto más lo leía más me liaba.

EDITO:

A ver si con esto ya remato, si aplicamos la Ley de Ampere:

$\dst\oint \vec{B}\cdot\vec{dl}=\mu_{0}\cdot I_{m}$

En dónde la corriente $I_{m}$ es la total a través del area limitada por la trayectoria de integración, o sea, la del núcleo. Por lo tanto, $I_{m}=N\cdot dI_{m}$

Si integramos:

$B_{material}\cdot l = \mu_{0}\cdot I_{m} \Rightarrow B_{material}=\mu_{0}\cdot \dfrac{I_{m}}{l}=\mu_{0}\cdot M=\mu_{0}\cdot \dfrac{N\cdot dI_{m}}{l}$

De donde se puede observar la relación: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Y por lo tanto, el campo magnetico total en el interior del solenoide con un nucleo ferromagnetico sería:

$B=B_{aplicado}+B_{material}=B_{aplicado} + \mu_{0}\cdot M$

¿Estoy en lo correcto?

[Julián]

Re: Magnetismo en la materia

Perdón por tardar en responder, es que como editaste la respuesta esta no aparece en la sección Lo nuevo y por lo tanto no vi la edición. Pero por si todavía tienes la duda.

Por lo tanto, cuando se iguala: . Entiendo que está relacionando la corriente que circula por cada espira del solenoide, con una corriente ficticia que correspondería en magnitud a la que circularía por una espira del solenoide. ¿Esto es así?

No, está mal. La relación entre la corriente que circula por la espira ${I}_{e}$ y la corriente magnetizante ${I}_{M}$es:

$X {I}_{e} = {I}_{M}$

Donde x es la suceptibilidad magnética.

Por lo tanto si la ecuación del campo magnético en la espira (selenoide) es:

$\dst B = \frac{\mu N {I}_{R}}{L} = {\mu}_{0} (\frac{ N {I}_{e}}{L} + \frac{X N {I}_{e}}{L} )={\mu}_{0} (\frac{ N {I}_{e}}{L} + \frac{N {I}_{M}}{L} )= {\mu}_{0} (\vec{H} + \vec{M} )$

tal que:

$\mu = {\mu}_{0} (1+X)$

Donde ${I}_{R}$ es la corriente resultante o efectiva.

Ahora si quieres conocer el número de dipolos mangéticos del material (Para este caso que es un selenoide de sección, material y longitud fija). La corriente magnetizante total es

$N {I}_{M} = {I}_{Mt}$

Por lo que $\dst M = \frac{N {I}_{M} }{L} = \frac{{I}_{Mt}}{L}$

Donde $\dst {I}_{Mt}$ es la $I$ que definí en el post anterior pero llamesmosle ${I}_{Mt}$ para no confundir.

Volviendo a los dipolos magnéticos (si el matetrial magnético es de sección constante a lo largo de toda su longitud):

$\dst m = {\int}_{V} M dV = {\int}_{V} \frac{{I}_{Mt}}{L} dV = {\int}_{S} {I}_{Mt} dA$

Donde $m$ es la cantidad de dipolos totales. Nuevamente en el integrando puedes considerar ${I}_{Mt}$ o $N {I}_{M}$, solamente se diferencia en su magnitud porque sus unidades son la misma.

Creo que con esto debe quedar claro la diferencia entre ${I}_{Mt}$ y ${I}_{M}$

Es decir:

$\dst m= {\int}_{S} {I}_{Mt} dA = {\int}_{S} N {I}_{M} dA <br />$

¿por qué esta diferencia tan irrelevante entre ${I}_{Mt}$ y ${I}_{M}$? Nuevamente la corriente magnetizante es ficticia y se agrega solamente para el cálculo.

[ovichan]

Re: Magnetismo en la materia

Buenas, Julian. Antes de nada gracias por las molestias que te estás tomando.

La verdad es que no reedite el post, pero imaginé que el foro tiene que tener algún sistema que evita el doble posteo y lo edita automaticamente.

Centrados en el tema... en este lapso de tiempo creo que entendí correctamente lo que estuvimos debatiendo... por ese motivo y para evitar liar más la conversación, adjunto el archivo final que realice como resumen para mi estudio y que creo que se adapta correctamente a lo hablado. No lo pongo todo en el post, para evitar más confusión con la nomenclatura.

Si no te importa echarle un vistazo y comentarlo, te lo agradecería... Gracias nuevamente, Julián. Un abrazo.

[Julián]

Re: Magnetismo en la materia

el documento está bien. hace bien la relación entre ${I}_{Mt}$ que la llama ${I}$ y ${I}_{m}$ que yo llamé ${I}_{M}$ (en mi último post porque no seguí a lo largo del hilo la misma denominación) .

Es decir: ${I}_{Mt} = N {I}_{M}$

Fijate pues que n = N/L por lo que $\frac{{I}_{Mt}}{l} = \frac{N {I}_{M}}{l}$ y ${I}_{Mt}=N {I}_{M}$

Pero la relación con la corriente que circula por el conductor está mal, me refiero a ${I}_{e}$. Si bien ${I}_{e}$ y ${I}_{M}$ tienen la misma unidad, el ampere. Está la suceptibilidad magnética en el medio. Y el propio apunte lo menciona. Pero solamente hace la expresión incorrecta una vez y luego sigue trabajando con expresiones correctas. Pero quizás esa te trae confusión.

Es decir, ${I}_{e} \neq {I}_{M}$

Como ves, ${I}_{e}$ es la corriente que circula por el mismo selenoide pero con un nucleo de vacio ${\mu}_{0}$. Lo que da un campo ${B}_{0}$. Se observa que agregar la corriente de magnetización genera mas problemas en el cálculo más allá de agregar una corriente que en un pasado explicaba la causa de la diferencia de campo con un núcleo ferremagnético. Hoy en día es mejor considerar a la corriente de la espira como la única y las consecuencias cuánticas del espín y la disposición espacial del material en el ${\mu}_{r}$


${I}_{M} = X {I}_{e}$

$\dst B = {\mu}_{0} N ( \frac{{I}_{e}}{l} + \frac{X {I}_{e}}{l} ) = {\mu}_{0} N ( \frac{{I}_{e}}{l} + \frac{ {I}_{M}}{l} )$

Por lo que ${I}_{e} \neq {I}_{M}$

PD: fijate que cuando digo que es una complicación innecesaria los cálculo considerar la corriente magnetizante es porque:

[TEX]\dst B = {\mu}_{0} {\mu}_{r} N \frac{ {I}_{e}}{L} = {\mu}_{0} N ( \frac{{I}_{e}}{l} + \frac{X {I}_{e}}{l} ) = {\mu}_{0} N ( \frac{{I}_{e}}{l} + \frac{ {I}_{M}}{l} )

La corriente en el conductor es la misma tanto si se considera ${\mu}_{r} {\mu}_{0}$, como la de un selenoide en el vacio por más que se agruege la corriente de magnetización.
En los calculos prácticos es mejor trabajar con ${\mu}_{0} {\mu}_{r}$ y no con ${\mu}_{0}$ y agregar la magnetización. A menos que quieras explicar la saturación magnética sin tener que usar ${\mu}_{r} (H)$.

[ovichan]

Re: Magnetismo en la materia

Muchísimas gracias, Julián. Por fin, lo veo claro no, clarísimo. Un abrazo.

Dejaré está expresión para que me acuerde de la correlación:

$\begin{matrix}<br /> \dfrac{I}{l}=M & ; & nI_{e} \Rightarrow nI_{m} & ; & nI_{e}\chi_{m} = nI_{m} \\<br /> \end{matrix}$