Secundaria Problema de ley de gauss

[Alofre]

Hola, tengo una duda con un problema de Física: Sea una carga puntual Q situada a una distancia $\delta$$\to$0 del centro de la cara plana de un hemisferio de radio R. Calcule el flujo eléctrico que atraviesa la cara plana ($\phi_1$) y el que pasa a través de la superficie curva ($\phi_2$) .

Bien, en primer lugar he llegado a la conclusión de que dado que no hay ninguna carga encerrada en la semiesfera $\phi_{total}$=0 $\to$ $\phi_1$=-$\phi_2$.



Ahora comienzo a perderme un poco bastante. Mi primera idea ha sido usar una superficie gaussiana esférica y decir que el flujo total es $\phi_{total}$=Q/$\varepsilon_0$ y por lo tanto, $\phi_2$ =Q/2*$\varepsilon_0$ y $\phi_1$= -Q/2$\varepsilon_0$ pero no estoy seguro de como tratar esa $\delta$$\to$0 .
Muchas gracias!!

[The Higgs Particle]

Re: Problema de ley de gauss

Diría que el flujo va a ser:

$\phi = \dst \frac{1}{2} \frac{q}{\epsilon_0}$

y que puede verse de dos formas: una geométrica y otra matemática:


- Geométrica: si te imaginas la carga puntual $q$ inmersa en un plano, como el campo que genera es radial, las líneas del campo $\vec E$ van a estar inmersas en el plano -es decir, van a ser paralelas a los vectores que definen el plano-. Por ello, el flujo sobre la parte plana es nulo. Sin embargo, por la semiesfera atraviesan todas las líneas de campo que tienen una componente vertical hacia arriba: es decir, la mitad de las que genera. Por ello, el flujo será la mitad del que sería si estuviera en el centro de una esfera completa.

- Matemática: El flujo es el que atraviesa la superficie esférica ($\phi_1$) y el de la plana ($\phi_2$). Por ello:

$\dst \oint \vec E \cdot \dd \vec S = \oint \vec E \cdot \dd \vec S_1 + \oint \vec E \cdot \dd \vec S_2$

Claro está que $\phi_1 \neq 0$ y que, de hecho, vale: $\dst \frac{q}{2 \epsilon_0}$

Por otra parte si, por comodidad, situamos el origen de coordenadas en punto donde se encuentra la carga, podremos ver que, por simetría, todas las componentes x e y del campo eléctrico se van a anular entre sí, de forma que vamos a quedarnos sólo con las componentes verticales: z. De hecho, la componente z -la que no se va anular, vaya- del campo eléctrico generado por la carga $q$ sobre un punto $P(x,y,z)$ del plano podrá escribirse como:

$\dst \vec E_z = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \cos(\theta) \vec u_z$

donde:

$\dst r^2 = x^2 + y^2 + z^2$
$\theta$ es el ángulo formado con la vertical desde el punto donde se encuentra la carga -origen- y en el punto de estudio del plano

Entonces, por trigonometría:

$\dst \vec E_z = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2} \left( \frac{z}{r} \right) \vec u_z$

De modo que:

$\lim_{z \to 0} \vec E = 0 \to \phi_2 = 0$

[Alofre]

Re: Problema de ley de gauss

Hum... pero entonces no es igual a 0? Lo digo por que hasta donde yo llego si Q no está dentro del hemisferio =0 no? Es lo que leído, pero por favor corregidme si estpy diciendo una barbaridad.

[HanT]

Re: Problema de ley de gauss

Hum... pero entonces no es igual a 0? Lo digo por que hasta donde yo llego si Q no está dentro del hemisferio =0 no? Es lo que leído, pero por favor corregidme si estpy diciendo una barbaridad.

Tal vez sea yo el que no ha entendido el enunciado pero yo no interpreto que la carga esté fuera del hemisferio. También se puede acercar a la cara plana de éste desde el interior. De todas formas tu duda es coherente, lo que en mi opinión es confuso es el enunciado. Físicamente para concebir el cálculo del flujo no es lo mismo que la carga se acerque mucho al plano desde dentro, a que se acerque mucho desde fuera. Aunque matemáticamente al tomar el límite supongo que esta diferencia se desvanece.

[The Higgs Particle]

Re: Problema de ley de gauss

Tal vez sea yo el que no ha entendido el enunciado pero yo no interpreto que la carga esté fuera del hemisferio. También se puede acercar a la cara plana de éste desde el interior. De todas formas tu duda es coherente, lo que en mi opinión es confuso es el enunciado. Físicamente para concebir el cálculo del flujo no es lo mismo que la carga se acerque mucho al plano desde dentro, a que se acerque mucho desde fuera. Aunque matemáticamente al tomar el límite supongo que esta diferencia se desvanece.

Sí, yo también lo veo un poco confuso. Porque tiene "chicha" el problema cuando lo que consideras es una superficie en el límite: que la carga esté en el plano.

Pero también puede interpretarse, y sería perfectamente válido, como que te acercas indefinidamente pero sin llegar nunca a tocarlo -y, ahora que lo pienso, probablemente el enunciado vaya por aquí al preguntar específicamente el flujo en cada cara-.
- Si te acercas desde fuera, ambas superficies (curvada y plana) se "tragan" las mismas líneas de campo: todas las que van hacia arriba, pero en una entra y de la otra, la curvada, salen. Así, el flujo neto es trivial por la ley de Gauss (nulo), pero en ambas caras tienes el mismo flujo: $\dst \left\vert{} \phi_1 \right\vert{}=\left\vert{} \phi_2 \right\vert{} = \frac{q}{2 \epsilon_0}$
- Si te acercas desde dentro, de nuevo ambas tienen el mismo flujo por la razón de simetría que comentaba: $\phi_1=\phi_2 = \dst \frac{q}{2 \epsilon_0}$, pero esta vez las líneas salen por ambas superficie, luego el flujo neto no es 0

Es decir, te doy una u otra solución dependiendo de cómo se interprete ese $\delta \to 0$: si está tan cerca que me permite suponer que está dentro del plano o si simplemente se refiere a que está pegada a ella. Pero vamos, que si se entiende esto y se explica, no hay ningún problema, porque está quedando claro que entiendes cómo funciona la Ley de Gauss.

[HanT]

Re: Problema de ley de gauss

Pero también puede interpretarse, y sería perfectamente válido, como que te acercas indefinidamente pero sin llegar nunca a tocarlo -y, ahora que lo pienso, probablemente el enunciado vaya por aquí al preguntar específicamente el flujo en cada cara-.
- Si te acercas desde fuera, ambas superficies (curvada y plana) se "tragan" las mismas líneas de campo: todas las que van hacia arriba, pero en una entra y de la otra, la curvada, salen. Así, el flujo neto es trivial por la ley de Gauss (nulo), pero en ambas caras tienes el mismo flujo: $\dst \left\vert{} \phi_1 \right\vert{}=\left\vert{} \phi_2 \right\vert{} = \frac{q}{2 \epsilon_0}$
- Si te acercas desde dentro, de nuevo ambas tienen el mismo flujo por la razón de simetría que comentaba: $\phi_1=\phi_2 = \dst \frac{q}{2 \epsilon_0}$, pero esta vez las líneas salen por ambas superficie, luego el flujo neto no es 0

Es decir, te doy una u otra solución dependiendo de cómo se interprete ese $\delta \to 0$: si está tan cerca que me permite suponer que está dentro del plano o si simplemente se refiere a que está pegada a ella. Pero vamos, que si se entiende esto y se explica, no hay ningún problema, porque está quedando claro que entiendes cómo funciona la Ley de Gauss.

Exacto. Esa es la respuesta que yo daría también.

[Alofre]

Re: Problema de ley de gauss

Muchas gracias!!