1r ciclo Voltaje de solenoide con resistencia parásita

[unoonox]

Buenas, tengo el siguiente circuito, para el cual debo obtener la ecuación diferencial de $v_{l}$. Lo he intentado de varias formas, pero nada, no lo consigo, porque ese voltaje incluye a la resistencia parásita R_l y al solenoide.



Si alguien pudiera ayudarme, lo agradezco mucho. Por cierto, la fuente es de señal cuadrado de valor pico a pico de E.

[Alriga]

Re: Voltaje de solenoide con resistencia parásita

A) Las funciones temporales las llamo:

$E=E(t)$

$i=i(t)$

$v_L=v_L(t)$

Solo tenemos una malla que cumple:

$$E=R \ i + v_L$$

Y la tensión en el solenoide es:

$$v_L=R_L \ i+L \ \dfrac{di}{dt}$$

Por lo tanto la ecuación diferencial completa del circuito combinando (1) y (2) es

$L \ \dfrac{di}{dt}+(R+R_L) \ i=E$

En esta ecuación diferencial, si conoces $E(t), \ R, \ R_L, \ L$ la única incógnita es la corriente "$i$" Normalmente se resuelve mediante la Transformada de Laplace, y cuando tienes la corriente, la ecuación (2) te permite calcular la tensión en la bobina.

EDITADO: No había entendido bien el enunciado, te piden la ecuación diferencial en función de $v_L$ no en función de la corriente como yo he hecho antes.

B) En (1) despejamos la corriente

$$i=\dfrac{E-v_L}R$$

Derivamos

$$\dfrac{di}{dt}=\dfrac 1 R \dfrac{dE}{dt}-\dfrac 1 R \dfrac{dv_L}{dt}$$

Sustituimos la corriente (3) y su derivada (4) en la expresión (2)

$v_L=R_L \dfrac{E-v_L}R+L \left (\dfrac 1 R \dfrac{dE}{dt}-\dfrac 1 R \dfrac{dv_L}{dt}\right )$

Esta es la ecuación que te piden, que si no me equivoco al simplificar queda:

$$L \dfrac{\dd v_L}{\dd t}+(R+R_L) \ v_L =R_L \cdot E+L \dfrac{dE}{dt}$$

Si conoces $E(t), \ R, \ R_L, \ L,$ calculas $\dfrac{dE}{dt}$ y la única incógnita de la ecuación diferencial es la tensión "$v_L(t)$"

NOTA: No elimino el apartado A) pues puede serte útil para ver como se calcula directamente la corriente.

Saludos.