1r ciclo Campo y potencial eléctrico de una esfera aislante con dos distintas densidades de carga

[juanji]

Hola buenas,

Os agradecería que me ayudarais, confirmarais o rectificarais en la resolución que propongo de este problema:

El enunciado es el siguiente:

1.) Una esfera aislante de radio R tiene dos zonas con distribuciones de carga diferentes. En el núcleo (la zona interna entre r=0 y r= R/2) tiene una distribución uniforme de carga positiva de densidad $\rho$. En la corteza (la zona externa entre r=R/2 y r=R) tiene otra distribución uniforme de carga negativa de densidad $\frac{-\rho}{\alpha }$.

a.) Determine el valor de $\alpha$ que hace que el campo en el exterior de la esfera sea nulo.

b.) Determine, para ese valor de $\alpha$, el campo en las dos regiones -corteza y núcleo- de la esfera.

c.) Para ese valor de $\alpha$, calcule el potencial en todas las regiones del espacio tomando el infinito como origen de potenciales.


Mi resolución es la siguiente:

a.) Para resolver este apartado lo que hago es plantear que para que el campo sea nulo en el exterior de la esfera, calculo el campo utilizando la Ley de Gauss e impongo que la carga interna encerrada por la superficie de Gauss sea nula. Primera duda: ¿Es esto correcto?

De ser correcto, opero de esta forma:

- Entre r=0 y r= R/2:

$\rho=\frac{Qnucleo}{ (4/3)\pi{(R/2)}^{3 }} \Rightarrow Qnucleo = \frac{\pi{R}^{ 3}\rho}{6 }$

Entre r=R/2 y r=R:

$\frac{-\rho}{\alpha }=\frac{Qcorteza}{ ((4/3)\pi{R}^{3 }-(4/3)\pi{(R/2)}^{3 })} \Rightarrow Qcorteza = \frac{-7\pi{R}^{ 3}\rho}{6\alpha }$

Ahora, impongo que la carga total interna sea nula (pues el campo en el exterior es nulo):

$Qint=0=Qnucleo+Qcorteza=\frac{\pi{R}^{ 3}\rho}{6 }-\frac{7\pi{R}^{ 3}\rho}{6\alpha } \Rightarrow\alpha=7$



b.) En este apartado lo que hago es aplicar Gauss en las dos regiones. Otra duda: ¿Puedo hacerlo?


- Entre r=0 y r= R/2: (Qnucleo(r) significa la carga en el núcleo a la distancia r del centro)

$\oint E(r)dr=\frac{Qnucleo(r)}{{\varepsilon}_{0 }}=\frac{\pi{r}^{ 3}\rho}{6{\varepsilon}_{0 } } \Rightarrow E(r)4\pi {r}^{ 2}=\frac{\pi{r}^{ 3}\rho}{6{\varepsilon}_{0 } } \Rightarrow E(r)=\frac{r\rho}{24{\varepsilon}_{0 } }$


- Entre r=R/2 y r= R: (Qint(r) significa la carga total interna a una distancia r del origen y Qcorteza(r) significa la aportación de carga de la región de la corteza a la distancia r del centro)

$\oint E(r)dr=\frac{Qint(r)}{{\varepsilon}_{0 }}=\frac{Qnucleo+Qcorteza(r)}{{\varepsilon}_{0 } }$ (Aquí Qnucleo es toda la carga del núcleo)

Otra duda: ¿La última igualdad es correcta? Es decir, ¿puedo aplicar así Gauss?

De ser correcto, tendría:

$E(r)4\pi {r}^{ 2}=\frac{\pi{R}^{ 3}\rho}{6{\varepsilon}_{0 } }-\frac{7\pi{r}^{ 3}\rho}{6\alpha{\varepsilon}_{ 0} }$

Sustituyendo $\alpha$ me queda:

$E(r)=\frac{\rho({R}^{3 }-{r}^{ 3})}{24{\varepsilon}_{ 0}{r}^{2 } }$


Y ahora es cuando tengo la mayor duda que es la que me hace no querer continuar con el apartado c). Para los campos que obtengo en las dos regiones, resulta que para r=R/2, es decir, en la frontera de las 2 regiones, el campo no me coincide y existe discontinuidad. ¿Es posible?

Agradecería cualquier ayuda.

Muchas gracias y saludos.

- - - Actualizado - - -

Ya he detectado el error. El apartado de la carga es correcto pero cuando calculo los campos, en el caso del núcleo en la Ley de Gauss había considerado como carga interna la fórmula utilizada en el apartado a) pero en ese apartado consideraba toda la carga del núcleo y, en cambio, es sólo la parte de la carga del núcleo hasta r. Y en la obtención del campo en la corteza tengo un error de cálculo.

Ahora voy a por el apartado c). Si no me salgo, ya comento.

Saludos



Hola buenas,

En el apartado c) para calcular el potencial en todas las regiones del espacio (una vez ya he calculado los campos en cada región) ¿Sería correcto el siguiente planteamiento? Teniendo en cuenta que el origen de potencial está en el infinito, lo que hago es lo siguiente:

- Para $R\leqslant r<\infty$:

$V(r)= -\int_{\infty}^{r} E(r)dr= -\int_{\infty}^{r} 0dr=0$

- Para $R/2\leqslant r\leqslant R$:

$V(r)= -\int_{\infty}^{r} E(r)dr=-\int_{\infty}^{R} E(r)dr-\int_{R}^{r} E(r)dr=0-\int_{R}^{r} E(r)dr$

- Para $0\leqslant r< R/2$:

$V(r)= -\int_{\infty}^{r} E(r)dr=0-\int_{R}^{R/2} E(r)dr-\int_{R/2}^{r} E(r)dr=0+V(R/2)-\int_{R/2}^{r} E(r)dr$
(siendo V(R/2) el potencial en R/2 utilizando la integral de la región anterior a ésta)


Teniendo en cuenta que cada E(r) se sustituye por su expresión en cada región: ¿Sería correcto este procedimiento para encontrar el potencial en cada punto? ¿Hay algún otro procedimiento más rápido?

Gracias de nuevo y saludos.