Otras carreras Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico

[tic]

Según Wikipedia https://es.wikipedia.org/wiki/Potenc..._carga_puntual :

"Considérense los puntos A y B y una carga puntual q tal como muestra la figura."



$<br /> \begin{aligned} <br /> & V_B - V_A = - \int_A^B \vec E \cdot \vec{dl} \\<br /> & \vec E \cdot \vec{dl} = - E \cdot dl<br /> \end{aligned}$

Y ahora viene lo que no entiendo:
"Ahora bien, al moverse la carga una trayectoria dl hacia la izquierda, lo hace en la dirección de la r decreciente porque r se mide a partir de q como origen. Así pues:"
$<br /> \begin{aligned} <br /> & \vec E \cdot \vec{dl} = E \cdot dr<br /> \end{aligned}$

Yo entiendo que el origen de coordenadas está en la carga $Q$ que genera el campo eléctrico, no en la carga de prueba $q$.

El vector de posición radial $\vec{r}=r \vec{u_r}$ indica la posición de la carga de prueba $q$ en su desplazamiento de A a B, luego
$<br /> \begin{aligned} <br /> & \vec{dr} = dr (-\vec{u_r}) = \vec{dl} \\<br /> & \vec E \cdot \vec{dl} = E \vec{u_r} \cdot dr (-\vec{u_r}) =- E \cdot dr<br /> \end{aligned}$

Pero así se llega al resultado de:
$V=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
con el signo cambiado

[arivasm]

Re: Cálculo del potencial a partir del campo eléctrico

Desde luego la entrada de Wikipedia es muy mejorable, aunque solo sea porque se usa la misma letra, q, para dos cosas: la carga creadora de campo y la de prueba.

En este tipo de cosas es habitual equivocarse por un diferente uso para la letra r: como distancia al origen y como vector de posición. Parece lo mismo, pero no lo es. En general, no es cierto que $|\dd\vec r|=\dd r$. Así, por ejemplo, si hacemos un desplazamiento infinitesimal sobre una circunferencia centrada en el origen, mientras que $|\dd\vec r|\neq 0$ sucede que $\dd r=0$ (la distancia al origen no cambia).

En el ejemplo de Wikipedia plantean un $\dd\vec l$ radial y en el que la distancia al origen disminuye. Entonces, $\dd l=-\dd r$ (el tamaño del paso infinitesimal es igual a lo que se *reduce* la distancia al origen). Ojo, porque estoy mezclando notaciones: por $\dd l$ me estoy refiriendo a $|\dd\vec l|$ mientras que por $\dd r$ me estoy refiriendo a $\dd |\vec r|$. Como dije antes, parece lo mismo, pero no es igual.

Por tanto, en ese ejemplo, $\vec E\cdot\dd \vec l = -E\dd l=E\dd r$

¿En qué falla lo que has escrito? Dices que $\dd\vec l=\dd \vec r=\dd r(-\vec u_r)$. Pues no: en ese desplazamiento la distancia al origen disminuye con lo que $\dd r<0$. Si tu expresión fuese correcta entonces el $\dd\vec l$ apuntaría hacia afuera. En realidad la cosa es así: $\dd\vec l=\dd \vec r=\dd r\ \vec u_r$. Quizá se vea más claro de esta manera: como $\vec r=r\vec u_r$ y el desplazamiento es tal que se mantiene el $\vec u_r$ entonces $\dd\vec r=\dd r\ \vec u_r$

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PD: He editado esa entrada de Wikipedia, retocando algunos detalles. A ver si así mejora algo.