1r ciclo Circuito de corriente alterna

[antonio0]

Hola, hice este ejercicio pero no se si esta bien realizado. ¿Alguien podría revisarlo y ver si esta bien o indicarme algún fallo? Sobre todo los apartados c) y d)

La tensión instantánea en el generador del circuito viene dada por la expresión: $v(t) = 220 \sqrt{ 2} cos(100PIt)$ V. Se sabe que las intensidades I1 y I2 están en fase y que la potencia disipada en la impedancia X es 100W. Siendo $R= 50 \Omega$ $C= 150 \mu F$ $L=0,3H$. Se pide:
a) La intensidad I1 en función del tiempo. b) la caída de tensión en los elementos L, R y C. c) La intensidad I2 y la impedancia X. d) El elemento Z' que habría que introducir entre los puntos M y N para conseguir resonancia en el circuito.



Lo que hice:
a)
Los elementos RCL estan todos en serie, por lo que calculo su impedancia y me queda 50 + 72,97j= $88,46 \angle 55,58^o$
Con $V = IZ$, siendo $V=220 \angle 0^o$ y $Z =88,46 \angle 55,58^o$ obtengo $I_1= 2,487 \angle -55,58^o$

$i(t)= 2,487 \sqrt{ 2} cos(314t +55,88^o)$

b)
Al estar en serie, la intensidad que pasa por los elementos RCL es la misma, lo que varía es su voltaje.
Con $V = IZ$, la intensidad del apartado a) y siendo $X_c =-21,23j$ y $X_L = 94,2j$ obtengo:
$V_L=234,27 \angle 314t +34,42^o$
$V_C=52,799 \angle 314t -145,58^o$
$V_R=124,34 \angle 314t -55,58^o$
Hago $V_L + V_C +V_R$ para comprobar que su total son 220V

c) Como la potencia solo hay en las resistencias, X es una resistencia.
Como RCL esta en paralelo con X,
${V}_{ RCL} = V_X={V}_{ RCLX }= 220 V$

Entonces $P_dis = V_ef * I_ef * cos(\alpha)$
Como el enunciado dice que esta en fase, indica que sus angulos son 0, por lo que $\alpha =0$

$I_2 = 0,4545 \angle 314t +34,42^o$

Despejo Z de $V=IZ$ y me queda $484\Omega$

Calculo la impedancia total con los calculado en el apartado a) estando en paralelo y me queda Z= 53,35 + 58,84j

d)
Como al introducirlo, están en serie, por ellos pasa la misma intensidad (y el mismo voltaje), Im(Z)=0. Osea despejo la parte imaginaria y me queda que Y= -58,84j. Al quedar negativo, es necesario introducir un condensador.

[Alriga]

Re: Circuito de corriente alterna

Los apartados a y b están bien planteados, aunque a mí me salen decimales un poco diferentes porque he hecho los cálculos con más precisión. El apartado c no es correcto. El enunciado no te dice que la impedancia desconocida X sea una resistencia. Lo que te dice es que es una impedancia que su parte real disipa 100 W

El enunciado te dice "Se sabe que las intensidades I1 y I2 están en fase" es decir, que el ángulo de I2 es el mismo que el de I1 que ya hemos calculado, (lo llamo ángulo A para no tener que ir arrastrando el número durante todo el desarrollo), el módulo de I2 es desconocido

$\bold{I_1}=2.485763 \angle -55.601449^o$

$\bold{I_2}=I_2 \angle -55.601449^o$

(Ver ** más abajo)

$A=-55.601449^o$

$\bold{I_2}=I_2 \cos A+j I_2 \sin A$

A la impedancia desconocida X, la llamo $\bold{Z_2}=R_2+j X_2$

Tenemos una ecuación real, la de la potencia:

$100=R_2 \cdot I_2^2$

Y una ecuación compleja

$220=(I_2 \cos A+j I_2 \sin A) \cdot (R_2+j X_2)$

Operando

$220=(R_2I_2\cos A-X_2I_2\sin A) + j (X_2I_2 \cos A+R_2I_2\sin A)$

Sustituyendo R2 por

$R_2=\dfrac{100}{I_2^2}$

Y separando parte real y parte imaginaria se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que son X2 e I2, puesto que conocemos A=-55.601449º

$220=\dfrac{100}{I_2}\cos A-X_2 I_2\sin A$

$0=X_2I_2\cos A+\dfrac{100}{I_2}\sin A$

Resolviendo el sistema, (sale fácil despejando X2 en la 2ª ecuación y sustituyendo en la 1ª):

$I_2=0.804582 \ A$

$X_2=225.618 \ \Omega$

$R_2=154.4754 \ \Omega$

** Como aparece en el post #5 un camino más sencillo para hallar directamente el módulo de I2 es plantear

$100=220 \cdot I_2 \cdot \cos -55.601449^o$

d) Hay que hallar el paralelo de $\bold{Z}=\bold{Z_1} || \bold{Z_2}$ mirar cual es la parte imaginaria y añadir entre M y N una L o un C que la compense. (Por simple inspección de lo que tenemos hasta ahora, Z1 y Z2 son ambas inductivas, ya se ve que tendrá que insertarse un condensador) Si no te sale, pregunta de nuevo.

$\bold{Z_1}=50+j 73.027121$

$\bold{Z_2}=154.4754+j 225.618$

Saludos.

[antonio0]

Re: Circuito de corriente alterna

Entendido. Entonces en el enunciado la interpretación puede ser un poco ambigua, por que si no te dan esa potencia directamente se puede descartar la existencia de resistencia (al no haber parte real). ¿Pero como te dan potencia, ya hay parte real y parte imaginaria?. Pero tampoco especifica cuantos elementos hay en la impedancia, por eso estoy un poco confundido. Podría haber varias resistencias en serie por ejemplo sumandas.

¿Podría haberse dado el caso de que hubiese sido únicamente una resistencia lo que hubiera dado esa potencia y al calcular la parte imaginaria hubiese quedado 0 y de ahí se deduce que la impedancia es una resistencia?



Con respecto al d) Z2 es la impedancia desconocida calculada en el apartado C) y Z1 es el RLC en serie calculado en a). Z1 y Z2 están en paralelo.

Calculo su impedancia equivalente Ztotal y el nuevo elemento estará en serie con Ztotal, ya que por el pasa la misma intensidad. ¿Esta bien?

[Alriga]

Re: Circuito de corriente alterna

... Entonces en el enunciado la interpretación puede ser un poco ambigua, ...

No, el enunciado no es ambiguo. Te dicen que I2 la corriente que pasa por Z2, está en fase con I1. Y se ve en el esquema que Z2 está en bornes del generador de 220 V que hemos tomado como referencia que tiene ángulo cero.

Si Z2 fuese solo una resistencia pura, el ángulo de I2 debería ser el mismo que el de la tensión de 220 V, por lo tanto cero.

Si Z2 fuese solo una reactancia pura, el ángulo de I2 debería estar desfasado exactamente o -90º o +90º respecto del de la tensión de 220 V, según fuese una inductancia o un condensador.

Como el ángulo de I1, que según el enunciado es el mismo que el de I2, nos sale de -55.6º eso significa que Z2 no puede ser ni una resistencia pura ni una reactancia pura, sino que debe tener parte real y parte imaginaria. Y el enunciado dice que la parte real disipa 100 W.

... tampoco especifica cuantos elementos hay en la impedancia, por eso estoy un poco confundido. Podría haber varias resistencias en serie por ejemplo sumadas ...

Eso no importa nada en absoluto, haya los elementos pasivos que haya, pueden ser 2, ó 100 ó 1000, serán siempre equivalentes a una única impedancia con una única parte real en serie con una única parte imaginaria.

... ¿Podría haberse dado el caso de que hubiese sido únicamente una resistencia lo que hubiera dado esa potencia y al calcular la parte imaginaria hubiese quedado 0 y de ahí se deduce que la impedancia es una resistencia?...

Si al calcular I1 nos hubiese salido ángulo CERO, como el ángulo de I2 dice el enunciado que es el mismo que el de I1, entonces Z2 consistiría en una resistencia pura. Pero como no nos ha dado cero, Z2 no puede ser una resistencia pura.

... Con respecto al d) Z2 es la impedancia desconocida calculada en el apartado C) y Z1 es el RLC en serie calculado en a). Z1 y Z2 están en paralelo.

Calculo su impedancia equivalente Ztotal y el nuevo elemento estará en serie con Ztotal, ya que por el pasa la misma intensidad. ¿Esta bien?

Sí, me sale

$\bold{Z_{tot}}=37.7736 + j 55.1699$

Para conseguir que la parte imaginaria se anule con un elemento conectado entre M y N, éste elemento debe cumplir $\bold{Z_{MN}}= - j \ 55.1699$

Por lo tanto para conseguir resonancia, entre M y N hay que colocar un condensador de $C=57.7 \ \mu F$

Compruébalo, saludos.

[antonio0]

Re: Circuito de corriente alterna

Encontré una solución mucho mas directa y sencilla sin tener que hacer un sistema y dividir parte real y parte imaginaria que puede dar fallos con las operaciones. Darme me da lo mismo, pero no me termina que convencer
Al estar en fase, tienen I1 e I2 el mismo angulo. Con la formula de la potencia $P = {V}_{ef} * {I}_{ef} * cos(\alpha)$. De ahi despejo ${I}_{ef}$ y queda $0,8045\angle 314t -55,60^o$

Con $V=IZ$ despejo Z y queda $273\angle 314t 55,60^o$ que pasándolo a forma compleja queda 154,24 + 225,25j

Lo que no me cuadra esta solución es que RLC esta todos sus elementos en serie. X esta en paralelo con el RLC, por lo que la Ieficaz que se ha usado donde la potencia es la que aporta a todo al circuito y que al estar en paralelo es la suma de I1 + I2. (Es decir, que esa I2 no tiene por que ser la Itotal)



Para el apartado d), si estuviesen en paralelo, $Im( \dfrac{1}{Z' }=0$$)$ con $\alpha=0$ entonces

$\dfrac{1}{ Z'}= \dfrac{1}{{Z}_{tot }} + \dfrac{1}{Y }$ y de ahí $0$$= \dfrac{1}{{Z}_{tot }} + \dfrac{1}{Y }$ pero me queda el mismo resultado que en serie, ¿es posible?

[Alriga]

Re: Circuito de corriente alterna

Encontré una solución mucho mas directa y sencilla ... Al estar en fase, tienen I1 e I2 el mismo ángulo. Con la formula de la potencia $P = V \cdot I \cdot \cos \alpha$. De ahi despejo ${I}_{ef}$ y queda $0,8045\angle 314t -55,60^o$

Con $V=IZ$ despejo Z y queda $273\angle 314t 55,60^o$ que pasándolo a forma compleja queda 154,24 + 225,25j

Correcto, no caí en ese camino más sencillo. Bueno, ahora has visto 2 maneras de hacerlo

... Lo que no me cuadra esta solución es que RLC esta todos sus elementos en serie. X esta en paralelo con el RLC, por lo que la Ieficaz que se ha usado donde la potencia es la que aporta a todo al circuito y que al estar en paralelo es la suma de I1 + I2. (Es decir, que esa I2 no tiene por que ser la Itotal)...

No. La potencia activa en un dipolo (2 terminales) es la tensión en bornes del dipolo, por la corriente que entra por un terminal del dipolo y sale por el otro por el coseno de $\phi$. Hemos usado:

$P_2=V \cdot I_2 \cos \phi_2$

Por lo tanto esa es la potencia activa SOLO en la impedancia Z2, que en el dibujo llama X. La potencia activa total que entrega la fuente de 220 V sería

$P=P_1+P_2$

Con $P_1=R \cdot I_1^2=50\cdot 2.485762^2$

O bien $P_1=220 \cdot I_1 \cos \phi_1$

Si primero hallas $\bold{I}=\bold{I_1}+\bold{I_2}=I\angle \phi_{tot}$ también la puedes calcular como

$P=220 \cdot I \cdot \cos \phi_{tot}$

Para el apartado d), si estuviesen en paralelo, $Im( \dfrac{1}{Z' }=0$$)$ con $\alpha=0$ entonces

$\dfrac{1}{ Z'}= \dfrac{1}{{Z}_{tot }} + \dfrac{1}{Y }$ y de ahí $0$$= \dfrac{1}{{Z}_{tot}} + \dfrac{1}{Y }$ pero me queda el mismo resultado que en serie, ¿es posible?

El apartado d) solo se resuelve de la manera que te he indicado: una reactancia colocada entre M y N está en serie con el resto del circuito, no en paralelo. Puede ser que por casualidad un elemento en paralelo podría conducir al mismo valor, no voy a calcularlo, pero si lo interpretases así, un profesor normal te daría el ejercicio como mal hecho aunque por casualidad te diese un valor de reactancia correcto.

Saludos.