1r ciclo Ondas electromagnéticas

[Visitante]

En la deducción que hace el Tipler para las ecuaciones de las ondas electromagnéticas dice que el campo eléctrico y magnético son perpendiculares, sin embargo no logro ver de dónde lo deduce, lo único que hace es descomponer el campo en el eje y y z y de ahí va deduciendo cosas, pero sigo sin ver que sean perpendiculares en general ¿Alguna ayuda?

[Julián]

Re: Ondas electromagnéticas

La perpendicularidad de los campos en un medio sin fronteras, parte de la obtención de la función de onda a partir de las ecuaciones de Maxwell. El libro de fisica general que hace la demostración en forma simple y especifica, a mi gusto, es el Resnick tomo 2.

Solo tienes que considerar la ecuación de ampere o faraday y la relación entre los campos.

[Ulises7]

Re: Ondas electromagnéticas

En la deducción que hace el Tipler para las ecuaciones de las ondas electromagnéticas dice que el campo eléctrico y magnético son perpendiculares, sin embargo no logro ver de dónde lo deduce, lo único que hace es descomponer el campo en el eje y y z y de ahí va deduciendo cosas, pero sigo sin ver que sean perpendiculares en general ¿Alguna ayuda?

Sea la ecuación de onda homogénea del campo eléctrico (válida sólo donde no haya fuentes: $\rho= \vec{J}=0$ ) para medios lineales, homogéneos e isótropos con $\mu$ y $\varepsilon$ :

$\nabla^2 \vec{E} -\mu \varepsilon \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0$

Al ser una ecuación de onda, su solución será harmónica y por tanto podemos utilizar la notación fasorial para separar la componente espacial de la temporal, obteniendo:

$\vec{E} = Re[\hat{\vec{E}}e^{j w t}]$

$\nabla^2 \hat{\vec{E}} +\mu \varepsilon w^2 \hat{\vec{E}} =0$

$( \nabla^2 +k^2 ) \hat{\vec{E}} =0$

Donde $k = w \sqrt{\mu \varepsilon}$ es la constante de propagación o constante de fase, puede ser compleja si el medio tiene pérdidas y su permitivdad es compleja. En el caso del vacío y de los dieléctricos perfectos es real.

La solución la obtendremos para ondas planas, que pese a ser ondas que no pueden existir realmente (su energía sería infinita), son una buena aproximación para superfícies pequeñas del frente de ondas alejado de la fuente, en este caso (siendo z la dirección de propagación por conveniencia):

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Cuya solución es de la forma:

$\hat{\vec{E}} = E_{0^+} e^{-jkz} + E_{0^{-}}e^{jkz}$

Donde $E_{0^+}$ y $E_{0^{-}}$ son amplitudes que pueden ser complejas (y tener por tanto fase).

Para facilitar el cáculo presuponemos que el campo eléctrico tendrá sólo componente en el eje X, entonces la ley de Faraday es:

$\nabla \times \hat{\vec{E}} = -jw \mu \hat{\vec{H}}$


[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Donde hemos hecho uso de la propiedad de la onda plana. Por tanto (y tenemos en cuenta sólo la onda que se desplaza con z>0):


$\hat{\vec{H}} = \dfrac{\dfrac{\partial \hat{\vec{E_x}} }{\partial z}}{-jw \mu} \hat{\jmath}= j \dfrac{\dfrac{\partial \hat{\vec{E_x}} }{\partial z}}{w \mu} \hat{\jmath}= \dfrac{k}{w \mu}\hat{\vec{E_x}} \hat{\jmath} = \hat{\vec{H_y}}\hat{\jmath}$

Donde:

$\hat{\vec{H_y}} = \dfrac{\hat{\vec{E_x}}}{Z}$

Siendo $Z$ la impedancia intrínseca del medio:

$Z = \dfrac{w \mu}{k} = \sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}}$

Como vemos $H$ y $E$ son perpendiculares entre sí. Esto se puede repetir escogiendo otros componentes y se obtendrá la perpendicularidad también. Hay que tener en cuenta que $E_z = 0$, porque debe cumplir la ley de Ampère-Maxwell: nos encontramos ante la transmisión TEM donde $E$ y $H$ sólo tienen componentes transversales a su dirección de propagación.

$E$ y $H$ son perpendiculares por la ley de Faraday y la de Ampère-Maxwell, que nos dicen cómo se crean los campos por la variación temporal de estos y se propagan por el espacio.

Saludos.