Otras carreras Cálculo del diagrama de radiación de un dipolo - comprobación de un ejemplo.

[gzee]

Hola a todos,

Estoy estudiando la antena de hilo (estudio telecomunicaciones), y al tratar de comprobar manualmente un ejemplo del PDF del profesor he caído en dudas que me gustaría aclarar con vosotros.
Al momento estoy algo confundido, para no ser confusional iré exponiendo el ejemplo paso a paso primero, después comentaré mi duda a respecto (*).

El ejemplo trata un dipolo de longitud $L$ alineado sobre el eje $\mathbf{\hat{z}}$ tal como se representa a continuación:



El dipolo es alimentado con una corriente

$I = \sin(k(L - |z|)) = \begin{cases}\sin(k(L - z)) & 0 \leq z \leq L\\<br /> \sin(k(L + z)) & -L \leq z \leq 0\\<br /> \end{cases}$

El ejemplo sigue con el cálculo del vector de radiación $\vec{N}$:

$\begin{aligned}\vec{N} & = \int_{-\infty}^{\infty} I\delta(x)\delta(y)\delta(z)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\vec{k}r}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z\\<br /> & = \int_{-L}^{L} \sin(k(L - |z|))\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_zz}\,\mathrm{d}z = \left. 2 \mathbf{\hat{z}} \frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin^2(\theta)}\right |_{k_z = k\cos(\theta)}\\<br /> & = \vec{N}_z<br /> \end{aligned}$

donde parece evidente que se ha cálculado la integral en el extremo positivo y se ha multiplicado el resultado por 2 dada la imparidad de la función de corriente.
Después, a través la matríz de transformación de coordenadas:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

se obtiene el vector $\vec{N}_\theta = -\sin(\theta)\vec{N}_z$.
A seguir, utilizando las ecuaciones de Maxwell para el campo lejano, se obtienen los siguientes resultados:

$\begin{aligned}E_r & \approx 0\\<br /> H_r & \approx 0\\<br /> E_\theta & \approx \frac{\mathrm{i}\omega}{2\pi}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kr}}{r}\frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin(\theta)}\\<br /> H_\theta & \approx 0\\<br /> E_\varphi &\approx 0\\<br /> H_\varphi & \approx \frac{E_\theta}{\eta}\\<br /> \end{aligned}$

y a través del cálculo del vector de Poynting:

$\begin{aligned}\mathcal{P}(\theta,\varphi) &= \frac{|E_\theta|^2}{\eta}<br /> \end{aligned}$

se obtiene la representación del diagrama de radiación:



siendo $\theta$ el ángulo cenital y $\varphi$ el ángulo acimutal.
La representación me coincide con la de antenna-theory:



http://www.antenna-theory.com/antennas/dipole.php

Ahora mi duda

El problema principal es que no consigo relacionar el resultado del vector de radiación en coordenadas espericas con el mismo diagrama de radiación.

Para averiguar si había entendido bien la teoría y el procedimiento, he decidido hacer los cálculos a mano, usando directamente los exponenciales complejos en lugar de integrar por partes:

$\begin{aligned}<br /> \alpha &= k_z = k\cos(\theta)\\<br /> f(z) &= \sin(k(L - z))\mathrm{e}^{\mathrm{i} \alpha z} = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kL-\mathrm{i}kz + \mathrm{i}\alpha z}}{2\mathrm{i}} - \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kL + \mathrm{i}kz + \mathrm{i}\alpha z}}{2\mathrm{i}}\\<br /> \vec{N}_z = \int_0^L f(z)\,\mathrm{d}z &= \left. \left (\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}kL-\mathrm{i}kz + \mathrm{i}\alpha z}}{2\mathrm{i}^2(\alpha - k)} - \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kL + \mathrm{i}kz + \mathrm{i}\alpha z}}{2\mathrm{i}^2(\alpha + k)}\right) \right |_0^L \\<br /> \end{aligned}$
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$\begin{aligned}<br /> & = \frac{1}{2}\left (\frac{(\alpha - k)(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha L} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kL}) + (\alpha + k)(\mathrm{e}^{\mathrm{i}kL} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha L})}{\alpha^2 - k^2}\right)\\<br /> & = \frac{1}{2}\left. \left( \frac{-2k \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha L} + 2\mathrm{e}^{\mathrm{i}kL}}{-k^2\sin^2(\theta)} \right)\right |_{\alpha^2 - k^2 = k^2(\cos^2(\theta) - 1) = -k^2\sin^2(\theta)}\\<br /> & = \frac{\cos(\alpha L) + \mathrm{i}\,\sin(\alpha L) - \cos(kL) - \mathrm{i}\,\sin(kL)}{k\sin^2(\theta)}\\<br /> & = \underbrace{\frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin^2(\theta)}}_{\text{real part}} + \underbrace{\frac{\mathrm{i}\,(\sin(k\cos(\theta)L) - \sin(kL))}{k\sin^2(\theta)}}_{\text{imaginary part}}<br /> \end{aligned}$

Entonces mi resultado es:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \vec{N}_z &= \Re \left\{ \int_{-L}^L f(z)\,\mathrm{d}z \right \} = 2\mathbf{\hat{z}} \frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin^2(\theta)} \\<br /> \vec{N}_\theta & = -2\mathbf{\hat{z}} \frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin^2(\theta)}\sin(\theta) \\<br /> & = -2\mathbf{\hat{z}} \frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin(\theta)}<br /> \end{aligned}<br />$

de lo cual deduco que el resultado del profesor tiene en cuenta solo de la parte real (este detalle se ha omitido en la explicación del ejemplo).
(*) Antes de abrir el hilo no tenía claro porque el profesor ignora la parte imaginaria en el cálculo, y creo que mientras escribía el hilo he resuelto esta duda gracias a la explicación en Wikipedia:

[FONT=sans-serif]"The imaginary part is usually ignored, however it signifies "reactive power" such as the interference due to a [/FONT]standing wave[FONT=sans-serif] or the [/FONT]near field[FONT=sans-serif] of an antenna."
[/FONT]
He mantenido los cálculo por si pueden ser utiles.
Link de Wikipedia:
https://en.wikipedia.org/wiki/Poynti...oynting_vector

Todavía me queda la duda más importante: observando el resultado:

$<br /> \begin{aligned}<br /> \Re{\vec{N}_\theta} & = -2\mathbf{\hat{z}} \frac{\cos(k\cos(\theta)L) - \cos(kL)}{k\sin(\theta)}<br /> \end{aligned}<br />$

y comparandolo con el diagrama de radiación, de este último se vee muy bien que para $\theta = 0\,,\pi$ se tiene un nulo de radiación, mientras que se tiene un máximo de radiación en $\theta = \pi/2$ y en todo el plano XY, o dicho de otra forma $\forall \varphi$.

De la expresión para $\vec{N}_\theta$ no consigo visualizar este resultado, ya que $\cos(0) = 1$ y $\cos(\pi/2) = 0$, y teniendo el factor $\sin(\theta)$ a denominador, deduco que el límite

$\begin{aligned}<br /> \lim_{\theta \to 0} \vec{N}_\theta<br /> \end{aligned}<br />$

no existe (solo los laterales).

Alguien puede ayudarme a aclarar esta duda para visualizar y relacionar el diagrama de radiación con la misma expresión símbolica ?
Muchas gracias de antemano.
g.

PS: Lo siento si el post ha salido un poco largo. He tratado de explicar mi duda lo mejor que he podido a través de mis resultados.

[Julián]

Re: Cálculo del diagrama de radiación de un dipolo - comprobación de un ejemplo.

Para averiguar si había entendido bien la teoría y el procedimiento, he decidido hacer los cálculos a mano, usando directamente los exponenciales complejos en lugar de integrar por partes:

(*) Antes de abrir el hilo no tenía claro porque el profesor ignora la parte imaginaria en el cálculo, y creo que mientras escribía el hilo he resuelto esta duda gracias a la explicación en Wikipedia:

[FONT=sans-serif]"The imaginary part is usually ignored, however it signifies "reactive power" such as the interference due to a [/FONT]standing wave[FONT=sans-serif] or the [/FONT]near field[FONT=sans-serif]of an antenna."
[/FONT]

Lo que has hecho al princio es expresar la función senoidal mediante la transformación de fourrier, que en este caso como es una señal periódica, mediante la serie de fourier. Una vez que llegas al resultado final, debes antitransformar para obtener la función en el dominio inicial, que en este caso es el dominio espacial.
Lo que ha hecho tu profesor es operar mediante fasores, es una herramienta matemática, en la cual se trabaja con la exponencial compleja (autofunción de sistemas LTI al igual que las funciones seno y coseno, ya que esta misma presenta dichas funciones en las componentes real e imaginaria).

Alguien puede ayudarme a aclarar esta duda para visualizar y relacionar el diagrama de radiación con la misma expresión símbolica ?
Muchas gracias de antemano.

Puedes usar un software de cálculo para graficar, por ejemplo, en mathematica puedes graficar la función mediante PolarPlot[], puedes ver aquí la documentación.

https://www.wolfram.com/language/fas...r-coordinates/