Secundaria Flujo eléctrico

[AlexFeynman]

Hola.

Recientemente he visto en el libro de física un ejercicio en el que se aplicaba la ley de Gauss para calcular el flujo eléctrico de una carga encerrada. Mi duda es, si esta ley se puede aplicar en dos dimensiones o, por el contrario, es exclusivamente para superficies en 3 dimensiones.

Gracias de antemano.

[Alriga]

Re: Flujo eléctrico

Tengo todo esto muy oxidado, lo que creo recordar:

La Ley de Gauss no es más que el Teorema de la Divergencia, que dice:

$\displaystyle \iint_{\partial U} \mathbf F \cdot d\mathbf{S} =\iiint_{U} \boldsymbol\nabla\cdot\mathbf F \; dV$

Se basa en el Teorema de Stokes, que es un teorema general que se formula en variedades multidimensionales:

$$\boxed{\dst \int_{\Omega} \mathrm{d}\omega = \int_{\partial \Omega} \omega}$$

$\Omega$ es de dimensión n

$\partial \Omega$ es el borde de $\Omega$ y es de dimensión n-1

El Teorema de la Divergencia es un caso particular del Teorema de Stokes en donde

$\Omega$ es un volumen de dimensión 3, por ejemplo un volumen esférico.

$\partial \Omega$ es una superficie cerrada de dimensión 2 que envuelve al volumen $\Omega$. En el ejemplo de volumen esférico, $\partial \Omega$ es la superficie de una esfera.

Respondiendo a tu pregunta, si aplicamos el Teorema de Stokes a 1 dimensión menos que en el caso del Teorema de la Divergencia, se obtiene el

Teorema de Green

$\dst \iint_D\left(\boldsymbol \nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l}$

En donde:

$D$ es una superficie de dimensión 2

$\partial D$ es una curva cerrada de dimensión 1 que es el borde de la superficie D.

Por lo tanto ya ves que sí, que hay un teorema similar al de Gauss que se aplica a 1 dimensión menos.

Saludos.

[AlexFeynman]

Re: Flujo eléctrico

Entonces, si cuando se reduce 1 dimensión la definición cambia, la relación $\oint_S \vec{E} d\vec{S} = q/\varepsilon_0$ se conserva o también cambiaría?

[Ulises7]

Re: Flujo eléctrico

Entonces, si cuando se reduce 1 dimensión la definición cambia, la relación $\oint_S \vec{E} d\vec{S} = q/\varepsilon_0$ se conserva o también cambiaría?

Cambia. Es el Teorema de Green que te ha puesto como fórmula final.

Que en el caso del campo eléctrico la ley que obtienes es el Teorema de Stokes (para el campo electromagnético) o la ley de Faraday:

$\dst \iint_D\left(\boldsymbol \nabla\times\mathbf{F}\right)\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l}$

Viene a ser:

$\dst \iint_D\left(\boldsymbol \nabla\times\mathbf{E}\right)\cdot d\boldsymbol{S}=\int_{\partial D} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$

$\dst \iint_D\left(\boldsymbol \nabla\times\mathbf{E}\right)\cdot d\boldsymbol{S} = \dst \iint_D\left(-\dfrac{\mathbf{\partial B}}{\partial t}\right)\cdot d\boldsymbol{S}= - \dfrac{\partial }{{\partial t}}\dst \iint_D \mathbf{ B}\cdot d\boldsymbol{S} =-\dfrac{\partial \Phi_B}{\partial t}=\int_{\partial D} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$

Que es otra de las ecuaciones de Maxwell, junto a la de Gauss ya tienes 2 de las 4. Las otras 2 son la divergencia nula del campo magnético y la ley de Ampère-Maxwell que es el rotacional del campo magnético (y donde aparece la corriente de desplazamiento, que conllevará a la ecuación de onda electromagnética).

Así que estrictamente, entiendo que no se puede aplicar la ley de Gauss (entendida como la ley de la divergencia del campo eléctrico o su flujo) no como el teorema matemático de la divergencia a dimensiones inferiores a dos, porque el flujo requiere de una superfície que atravesar, esta es la definición: producto escalar de un campo vectorial por el vector normal a la superfície y este producto nos indica el número de líneas que atraviesan la superfície, su flujo.

[AlexFeynman]

Re: Flujo eléctrico

Muchas gracias. Y $dl$ es un diferencial de longitud no?

[Alriga]

Re: Flujo eléctrico

¿ $dl$ es un diferencial de longitud no?

Sí, en efecto, saludos.