1r ciclo densidad de carga polarizada

[Emilio Ortega]

Considere una esfera conductora de radio R1, cargada
con Q. La cual esta rodeada de un manto dielectrico
de permitividad e y radio R2 (con respecto al centro de
la esfera), el resto del espacio esta vacıo. Determine:
b) Las densidades de carga libre e inducidas por la
polarizacion en las interfaces (cambios de medio).


Como puedo calcular la b) para R1 por ejemplo ? el resultado me indica que es un valor negativo pero a mi me queda el valor positivo :s ni idea como lo calculan para llegar a eso
se supone que debo calcular la carga polarizada en R1 para la izquierda y para la derecha pero a mi me queda positivo el valor.
Resultado
-(e-e0)/e * [Q/4*pi*R1^2]

[Ulises7]

Re: densidad de carga polarizada

La clave es conocer la expresión de las densidades de carga superficiales de polarización:

$\sigma = \vec{P} \cdot \vec{n}$

Donde $\vec{n}$ es el vector normal a la superfície de separación de los medios, este vector apunta hacia fuera del dieléctrico.

Necesitas por tanto obtener $\vec{P}$, si presumimos que el dieléctrico es lineal la relación existente entre $\vec{P}$, $\vec{D}$ y $\vec{E}$ es:

$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0 \vec{E} + \epsilon_0 \chi \vec{E} = \left ( 1 + \chi \right) \epsilon_0 \vec{E} = \epsilon \vec{E}$

$\vec{D}$ la puedes obtener fácilmente con la ley de Gauss:

$\dst \oint_S \vec{D} \cdot \dd \vec{S} = Q_i$

Teniendo $\vec{D}$ obtienes $\vec{E}$ y con estas dos obtienes $\vec{P}$ y ya puedes obtener la primera expresión.

[Emilio Ortega]

Re: densidad de carga polarizada

$\sigma = \vec{P} \cdot \vec{n}$

Si ya calcule D E y P pero aqui en esta formula el n es (-n) ? porque yo llego a la solución pero con el signo contrario

[Ulises7]

Re: densidad de carga polarizada

Si ya calcule D E y P pero aqui en esta formula el n es (-n) ? porque yo llego a la solución pero con el signo contrario

En la primera superfície sí es -n (respecto al origen de la esfera conductora), como P es positiva (se aleja de la esfera) su producto es negativo y se induce una carga de polarización superficial negativa.

En cambio en la otra superfície, R2 n y P coinciden en signo y por tanto la carga es positiva.

Puedes ver el signo de P desarrollando la expresión que la relaciona con E y D y teniendo en cuenta que la permitividad de los medios materiales es siempre mayor que la del vacío:

$\vec{P}= \vec{D} - \epsilon_0 \vec{E} = \vec{D} \left ( 1 - \dfrac{\epsilon_0}{\epsilon} \right )=\vec{D} \left ( 1 - \dfrac{1}{\epsilon_r} \right )$

Donde $\epsilon_r$ es la permitividad relativa o constante dieléctrica:

$\epsilon_r = \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}$

También puedes llegar al signo de P mediante el argumento físico de qué es la polarización:

$\vec{P} = \dfrac{\dd \vec{p}}{\dd V}$

Que no es más que la densidad de los momentos dipolares. Como el momento dipolar apunta siempre de una carga negativa a una positiva y tienes un campo eléctrico E positivo, el efecto en el dieléctrico es alejar ligeramente las cargas positivas y acercar las negativas (se produce un torque de estas cargas produciendo un campo eléctrico inducido), así tienes que en este caso P es positiva.

[Emilio Ortega]

Re: densidad de carga polarizada

En la primera superfície sí es -n (respecto al origen de la esfera conductora), como P es positiva (se aleja de la esfera) su producto es negativo y se induce una carga de polarización superficial negativa.

En cambio en la otra superfície, R2 n y P coinciden en signo y por tanto la carga es positiva.

Puedes ver el signo de P desarrollando la expresión que la relaciona con E y D y teniendo en cuenta que la permitividad de los medios materiales es siempre mayor que la del vacío:

$\vec{P}= \vec{D} - \epsilon_0 \vec{E} = \vec{D} \left ( 1 - \dfrac{\epsilon_0}{\epsilon} \right )=\vec{D} \left ( 1 - \dfrac{1}{\epsilon_r} \right )$

Donde $\epsilon_r$ es la permitividad relativa o constante dieléctrica:

$\epsilon_r = \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}$

También puedes llegar al signo de P mediante el argumento físico de qué es la polarización:

$\vec{P} = \dfrac{\dd \vec{p}}{\dd V}$

Que no es más que la densidad de los momentos dipolares. Como el momento dipolar apunta siempre de una carga negativa a una positiva y tienes un campo eléctrico E positivo, el efecto en el dieléctrico es alejar ligeramente las cargas positivas y acercar las negativas (se produce un torque de estas cargas produciendo un campo eléctrico inducido), así tienes que en este caso P es positiva.

muchas gracias por responder ulises, pero tengo una duda, no se supone que se analiza por dentro y por fuera, ejemplo, en el caso de la superficie R1 seria
sigma(R1) = sigma (R1 -)* (-n) + sigma(R1 +)*n
pero en R1 por la izq es 0 entonces es sigma R1 por la derecha y el producto punto es + y ahi me queda el resultado positivo, pero en realidad el resultado es negativo ahi está mi confusion

[Ulises7]

Re: densidad de carga polarizada

Se analiza por dentro y por fuera, pero del dieléctrico, es decir R1 y R2. No entiendo de donde sacas esa doble superfície para cada uno de estos radios. Sólo tienes que tomar una en cada caso. El primero es P por -n, ya que la superficie del dieléctrico apunta hacia la esfera conductora. En R2 es al revés.

[Emilio Ortega]

Re: densidad de carga polarizada

de este dibujo @ulises7 porque estuve leyendo y se supone que se debe considerar las condiciones de salto, en r<R1 es 0: D, E y P
entre R1<r<R2 ya tenemos valores para D, E y P luego si yo quiero calcular la densidad sup de carga pol en R1 entonces es:


sigma polarizada(R1) = P1 (R1 -)* (-n1) + P2(R1 +)*n2
= 0 *-n + P2(R1 +)*n2
= P2(R1 +)*n2

y como r tongo del vector P2 * n tongo2 estan en la misma direccion es 1 y me queda el resultado positivo, pero deberia ser negativo...
asi fue como lo lei en un documento de una Universidad que se calculaba


(R1- significa por la izq y R1+ significa por la derecha)
(n1 tongo es el que esta en el interior de R1 y n2 tongo el del exterior)

[Visitante]

Re: densidad de carga polarizada

Para algo de teoría tal vez te sirva revisar está página:

http://laplace.us.es/wiki/index.php/...rico_con_hueco

Saludos.

[Ulises7]

Re: densidad de carga polarizada

A mi juicio la interpretación del dibujo está mal, tal y como se plantea el problema que has puesto del dibujo se han añadido dos superfícies extras cuando en el original el dieléctrico rodea completamente a la esfera conductora, teniendo que analizar sólo dos superfícies, la interior R1 y la exterior R2.

Yo lo que haría es:

R1:

$\sigma_1 = \vec{P} \cdot \vec{n} = -P$

R2:

$\sigma_2 = \vec{P} \cdot \vec{n} = P$

Ya que en el primer caso n apunta hacia adentro y en el segundo hacia fuera. P en ambos apunta hacia afuera de forma radial.

No veo sinceramente porqué habría que tener en cuenta la continuidad de los campos en ambas superfícies a menos que se me esté escapando algo.