1r ciclo Energía almacenada en sistema de condensadores

[Magic24]

Hola, no entiendo cómo empezar el siguiente ejercicio-circuito sobre condensadores y su energía almacenada.

Dado el sistema de la figura, calcular la energía almacenada por cada condensador si la diferencia de potencial entre los puntos A y B es $V= 20 V$, siendo $C = 4 \mu F$.



Sé calcular las capacidades equivalente, no hay problema en eso. Finalmente obtengo que la energia total almacenada es:

$W= \dfrac{1}{2} C_{eq} \Delta V^2 = \dfrac{1}{2} 2.47 \cdot 10^{-6} \cdot 20^2=4.94 \cdot 10^{-4} J$

También sé que en cada rama hay la misma diferencia de potencial al estar en paralelo y que, en la rama superior, $V_{12} = V_1 + V_2$. Escribo la expresión de la energía almacenada:

$W= \sum_{n = i} \dfrac{1}{2} C_i \Delta V_i^2$

Pero hay alguna relación entre las diferencias de potenciales que no termino de captar, puesto que pretendo poner toda la expresión de la energía almacenada en términos de $\Delta V_1$ y ya ir escribiendo el resto, pero no sé qué me falta.

Gracias por anticipado.

[Richard R Richard]

Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

$\Delta V_i=\dfrac{Q_i}{C_i}$

$\Delta V=\Delta V_1+\Delta V_2$

$\Delta V=\dfrac{Q_1}{C_1}+\dfrac{Q_2}{C_2}$

Como $Q_1=Q_2$

$\Delta V=Q_1\left(\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\right)=Q_1\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$

La energía de una rama

$E_1=\frac 12 \dfrac{Q_1^2}{C_1}+\frac 12 \dfrac{Q_1^2}{C_2}$

Y la de la otra

$E_2=\frac 12 \dfrac{Q_3^2}{C_3}+\frac 12 \dfrac{Q_3^2}{C_4}$

El total es la suma de ambas

Y puedes dejar todo en función de $\Delta V$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego
$E=\frac12\Delta V^2\left(\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}+\dfrac{C_3C_4}{C_3+C_4}\right)$

Reemplazando valores de Capacidades

$E=\frac12\Delta V^2\left(\dfrac{2C}{3}+\dfrac{3C}{2}\right)$

$E=\frac12\Delta V^2\left(\dfrac{13C}{6}\right)=\dfrac {5200}{3}\mu J$

[Alriga]

Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

Vamos a trabajar en V, $\mu F$, $\mu C$ y $\mu J$

Rama 1-2

$C_{12}=\dfrac{4 \cdot 8}{4+8}=2.6667 \ \mu F$ Por estar en serie

$Q_{12}=C_{12} V=C_{12} 20=53.3333 \ \mu C=Q_1=Q_2$ Por estar en serie

$V_1=\dfrac{Q_1}{C_1}=\dfrac{53.3333}{4}=13.33 \ V$

$V_2=\dfrac{Q_2}{C_2}=\dfrac{53.3333}{8}=6.67 \ V$

Comprobación: $V=V_1+V_2=13.33+6.67=20 \ V$ OK

$$E_1=\dfrac 1 2 C_1 V_1^2=\dfrac 1 2 4 \cdot 13.33^2=355.56 \ \mu J$$

$$E_2=\dfrac 1 2 C_2 V_2^2=\dfrac 1 2 8 \cdot 6.67^2=177.78 \ \mu J$$

Comprobación:

$E_1+E_2=533.33 \ \mu J$

$E_{12}=\dfrac 1 2 C_{12} V^2=\dfrac 1 2 2.6667 \cdot 20^2=533.33 \ \mu J$ OK

Rama 2-3

$C_{34}=\dfrac{8 \cdot 24}{8+24}=6 \ \mu F$ Por estar en serie

$Q_{34}=C_{34} 20=120 \ \mu C=Q_3=Q_4$ Por estar en serie

$V_3=\dfrac{Q_3}{C_3}=\dfrac{120}{8}=15 \ V$

$V_4=\dfrac{Q_4}{C_4}=\dfrac{120}{24}=5 \ V$

Comprobación: $V=V_3+V_4=15+5=20 \ V$ OK

$$E_3=\dfrac 1 2 C_3 V_3^2=\dfrac 1 2 8 \cdot 15^2=900 \ \mu J$$

$$E_4=\dfrac 1 2 C_4 V_4^2=\dfrac 1 2 24 \cdot 5^2=300 \ \mu J$$

Comprobación:

$E_3+E_4=1200 \ \mu J$

$E_{34}=\dfrac 1 2 C_{34} V^2=\dfrac 1 2 6 \cdot 20^2=1200 \ \mu J$ OK

Comprobación:

$E=E_1+E_2+E_3+E_4=1733.33 \ \mu J$

$C=C_{12}+C_{34}=8.6667 \ \mu F$ Por estar en paralelo

$E=\dfrac 12 C V^2=\dfrac 1 2 8.6667 \cdot 20^2=1733.33 \ \mu J$ OK

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

Hola Alriga en este momento no puedo revisar si mi calculo esta mal y donde probablemente haya metido la pata, pero me parece que tienes que revisar el valor de $C_1$ en el cálculo de $E_1$ que te dio bien de todos modos , debe ser error de tipeo.

[Alriga]

Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

Hola Alriga en este momento no puedo revisar si mi calculo esta mal ...

A priori no veo nada que esté mal, solo que usas un camino muy largo, te dedicas a hacer una demostración de tu antepenúltima ecuación, que en mi opinión es innecesaria. Para hallar la energía total almacenada en los 4 condensadores, es directo asociar los 4 condensadores y calcular la energía:

$C=\dfrac{4\cdot8}{4+8}+\dfrac{8\cdot 24}{8+24}=8.6667 \ \mu F$

$E=\dfrac 1 2 8.6667 \cdot 20^2=1733.33 \ \mu J$

$C = 4 \mu F$



Sé calcular las capacidades equivalentes, ...

$W= \dfrac{1}{2} C_{eq} \Delta V^2 = \dfrac{1}{2} 2.47 \cdot 10^{-6} \cdot 20^2=4.94 \cdot 10^{-4} J$

Observa que calculas mal la capacidad equivalente, que es $8.6667 \ \mu F$ y no $2.47 \ \mu F$

Saludos

[Magic24]

Re: Energía almacenada en sistema de condensadores

Gracias a ambos, efectivamente me faltaba trabajar con las cargas.